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考虑过这样一个小问题：ℝ ⁴的单位球B(x,1),B ‘(x’ ,1),其中x=(0,0,0,0),x’=(0,0,0,1/2)，求∭
_{B ∩ B’}dxdydzdt……当然题目可以变成这个样子 ：x’是t轴上的动点,t
∈[-1,1]。 我觉得这种东西除了t=0
以外其他情况都比较困难，因为θ（一共是三个）
都非常难找，由于我们本身就是三维生物，所以也不可能想像ℝ ⁴.
首先t=0 显然就是ℝ ⁴中的单位球，答案：π ²/2. （只是变成了一个四重积分）这个可能比较显然，但是如果t不是0，情况就不好解决。
我们不可能找到一个t轴和三维欧几里得空间里面的xyz轴同时互相垂直。但是如果对t轴赋予时间这个变量，应该是一个一个同心球按时间大小次序“叠加”起来，虽然这样理解也不是特别合理，但是我们只能这样想。就像平面里面的人不能理解一个球穿过一片纸是一种怎样的画面一样。
上面的题我至今不会对任意的t求解，可能只是难在不会想角的范围，从而不知道怎么计算任意两个四维球的交的体积。 高维空间里面的东西很多放到三维空间我们都会觉得奇怪。
一个例子就是来自四维空间的神秘瓶子，就是著名的克莱因瓶。
它没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶事实上是一个不可定向的拓扑空间。在三维空间中，只好把它表现得似乎是自己和自己相交
一样。它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁
可以这样认为，它的瓶颈跑到了几秒以前的三维空间穿过了几秒以后瓶壁对应的三维空间位置然后有跑到了几秒以后，所以没有穿过我们这个时刻的瓶壁对应的位置，所以自然和瓶壁没有相交。 （当然这样理解也不是特别好，多少是可以暂时这样认为的）
但是话说回来，考试一般不可能考4重积分，我还是去复习吧（逃）
_{B ∩ B’}dxdydzdt……当然题目可以变成这个样子 ：x’是t轴上的动点,t
∈[-1,1]。 我觉得这种东西除了t=0
以外其他情况都比较困难，因为θ（一共是三个）
都非常难找，由于我们本身就是三维生物，所以也不可能想像ℝ ⁴.
首先t=0 显然就是ℝ ⁴中的单位球，答案：π ²/2. （只是变成了一个四重积分）这个可能比较显然，但是如果t不是0，情况就不好解决。
我们不可能找到一个t轴和三维欧几里得空间里面的xyz轴同时互相垂直。但是如果对t轴赋予时间这个变量，应该是一个一个同心球按时间大小次序“叠加”起来，虽然这样理解也不是特别合理，但是我们只能这样想。就像平面里面的人不能理解一个球穿过一片纸是一种怎样的画面一样。
上面的题我至今不会对任意的t求解，可能只是难在不会想角的范围，从而不知道怎么计算任意两个四维球的交的体积。 高维空间里面的东西很多放到三维空间我们都会觉得奇怪。
一个例子就是来自四维空间的神秘瓶子，就是著名的克莱因瓶。
它没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶事实上是一个不可定向的拓扑空间。在三维空间中，只好把它表现得似乎是自己和自己相交
一样。它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁
可以这样认为，它的瓶颈跑到了几秒以前的三维空间穿过了几秒以后瓶壁对应的三维空间位置然后有跑到了几秒以后，所以没有穿过我们这个时刻的瓶壁对应的位置，所以自然和瓶壁没有相交。 （当然这样理解也不是特别好，多少是可以暂时这样认为的）
但是话说回来，考试一般不可能考4重积分，我还是去复习吧（逃）
以前也没有刻意写计划的习惯
对于2.这个当然紧的刻画是任意开覆盖都是有有限子覆盖的，比如对于 ℝ ^n的紧集才是酱紫，这个我还是知道的
事实上有限维的normed linear space 的紧等价于有界闭
如果normed linear space是无限维的，那么其中必定含有不紧的有界集。
10. 这个当然不是,比如对于infinite measure 集合就不能满足，默认勒贝格测度。
6.这个没有学过，我只会ℝ^n上的计算，虽然ℝ^n也是一个流形qwq
但是之前在wiki看见过Riemann manifold ,Finsler manifold 的Laplace operator，但是我不会
5.这个也不知道反例，一个没有挠率例子切从无挠率联络以前维基百科看见过 比如Levi-Civita联络，我知道的还是太少了
3.我好像记得R有条件，好像是必须诺特，才可以
4.不知道这是什么
7.这个以前在书上看见过，但是数理基础薄弱的我还是打开了非百度搜索引擎
8.不会
9.不能熟知，约等于不会
综合以上，我是一个令人讨厌的坏孩子
事实上有限维的normed linear space 的紧等价于有界闭如果normed linear space是无限维的，那么其中必定含有不紧的有界集。
10. 这个当然不是,比如对于infinite measure 集合就不能满足，默认勒贝格测度。
6.这个没有学过，我只会ℝ^n上的计算，虽然ℝ^n也是一个流形qwq
但是之前在wiki看见过Riemann manifold ,Finsler manifold 的Laplace operator，但是我不会
5.这个也不知道反例，一个没有挠率例子切从无挠率联络以前维基百科看见过 比如Levi-Civita联络，我知道的还是太少了
3.我好像记得R有条件，好像是必须诺特，才可以
4.不知道这是什么
7.这个以前在书上看见过，但是数理基础薄弱的我还是打开了非百度搜索引擎
8.不会
9.不能熟知，约等于不会
综合以上，我是一个令人讨厌的坏孩子
