一个函数的微分等于0是什么意思？就说它的微小变化等于0....那意味着？这个函数不变！这是一个常数，我们把这个常数叫做能量E，所以定义

通常我们寻找一个守恒量的时候就采用这样的方案，找到dA=0，那么就是一个不变的量，注意这里的等于是恒等于，就是说无论自变量取何值，dA始终等于0，如果只在某个点等于0，那么就说明这点的导数等于0，或是切线斜率等于0，我们必须使得每一个点都是切线斜率为0，那么这个函数就是平平坦坦的一个常函数，也就是守恒量了。

刚刚是牛顿第二定律，如果我们引入牛顿第三定律呢？我们考虑两个质点的相互作用，牛顿第三定律是矢量式，写成

引入牛二F=mdv/dt，消去dt，有

瞧，发现了什么？守恒量！还是个矢量！我们把mv这个矢量定义为动量p，在考虑的系统不受外力时，这个量也是守恒的

守恒率往往来源于对称性，什么是对称？对称就是在某种变换下不变的性质，这个定义本身就有不变性，对于一个力学体系，我们可以用一个函数表达这个体系的性质，我们可以使用这个体系的总能量的表达式，但实际上我们往往会使用拉格朗日函数，其实是一样的，我们先只使用总能量这个函数，我们有时也称之为哈密顿函数，或哈密顿量，用H表示，其实名字什么都无所谓，用E和H也都无所谓，我这里就用H了，，如果你要是在高考中或是高中物理竞赛，推荐用E,我们考虑几个体系

①均匀重力场
考虑一个斜抛运动，我们以水平地面为势能零点，很快写出总能量来(上打点代表对时间求导)

现在考虑这里面的对称性，假如我换一个横坐标做这个实验，体系会不会变动？我们把这里面的横坐标做一增量，其中δx是常数

代入上面的式子

由于常数求导为0，我们会看到，这个总能量与y，水平速度，竖直速度的函数关系没有任何的变化，这就是说，这个体系有沿x方向的对称性，这导致了水平方向动量守恒，至于如何用数学方法推导出来。。我们先考察一下竖直方向的运动可以给我们什么启示，竖直方向好像就是一个一维的运动，我们使用一波动能定理，动能定理写成这个形式，动能用T表示

现在把牛二代入，再看一眼101楼有个式子，换一下，可以得到

进而竖直方向动量

现在我们可以把动量定义成这个样子，由于能量E=T+U(动能+势能)，实际上得到动量可以直接用整个能量对坐标导数(现在是朝某个方向的速度)求导，因为势能里一般不含速度，只含坐标本身，于是有这个方程

这里面之所以不用d而用∂是由于总能量的变化不只是由动能的变化产生的，还有势能的变化，所以我们只取动能的变化的部分，数学上就是把势能当成常数，只对坐标导数求导，这样的导数叫偏导数。