将一个函数上下平移，得到的函数的导函数都应该相等，也就是说一个函数加上一个常数的导数都相等，所以得到我们上面的结论，一个导函数有很多原函数，这些原函数都相差一个常数，这有什么意义？不就是一个保守力对应很多势能函数嘛，但这些势能函数之间只相差一个常数，这直接导致了――势能零点的任意性

下面对无穷小进行一些解释，无穷小不是一个很小很小的数，而是一个函数，在自变量趋于某一个值(或无穷大时)函数值趋于0，所以无穷小是函数，或者说，变量，比如Δx，就是Δx趋于0时的无穷小，取极限得到dx，无穷小和无穷小是不同的，比如Δx和(Δx)²，它们都是Δx趋于0时的无穷小，但是如果我们把两个东西相除，得到(Δx)²/Δx=Δx，在Δx趋于0时，这个比值就是0，如果这个比值是1的话，那说明这两个无穷小很接近，几乎相等了，但现在这个比值是0，这说明当Δx接近0的时候，(Δx)²比Δx小得多，也就是说，(Δx)²比Δx趋于0的"更快一点"这个看一眼图像就明白了(红线是函数Δx，蓝线是(Δx)²可以看出在从右往左的过程中，(Δx)²很快就到0了，Δx相对慢一点)

我们把两个无穷小在自变量趋于0时的极限作为无穷小比较的判据，比如上面这个例子，这两个无穷小之比是0，我们就说(Δx)²是比Δx更高阶的无穷小，或者说Δx是比(Δx)²更低阶的无穷小，要是那个比值为0，上面也提到过，在接近0时相差很小，我们说这两个函数是等价无穷小，举一个等价无穷小的例子，sin x和x，他们在x很小的时候相差很小，下图中蓝线是sin x

介绍这个无穷小的比较有什么意思？在很多近似运算中，无穷小的保留是十分讲究的，我们通常会根据实际情况保留，一般我们在求导运算都保留最低阶的无穷小，一般来说，对于一个多项整式来说，不含dx的是0阶，dx与某个数的乘积，是一阶，dx的平方是二阶，依此类推，像上面我们曾经算出x²的导数是2x+dx，2x是0阶，dx是一阶，我们这里省去dx这个一阶，保留最低阶0阶，因为一旦一个东西乘上了dx就会变的比没乘dx的小的多，所以我们选择近似处理，其实当dx趋于0时，这不是近似。

大家好久不见，考完复赛继续回来更贴子，

下面说说微分一个比较本质的东西，d是什么？我们有时管他叫一种算符，或者是算子，这种东西在乘在一个函数或是其它什么上，表示对这个函数进行一种"作用"，或者说是"变换"，当然你还可以认为是一种函数，，这函数的自变量是dx，我们根据dy(x)=y'(x)dx，我们如果把dx看作自变量，那么这就是一个正比例函数，比例系数就是导数。也就是我们前面说过的，dy和dx成正比，如果x还是t的一个函数x(t)，那dx和dt也成正比，比值是dx/dt，那么我们是否可以求出dy和dt之间的比值呢？这是不是就是y对t的导数呢？我们只需要把dx消掉就行，于是我们得到了复合函数求导法则，也叫链式法则

就像前面说的，这个d表示一种“操作”，是不可以上下约分的，然而dx或dy这样一个整体是一个函数，是可以约分的，而且前面也提到了，常数可以从里面提出来，即d(af)=adf，还有两个函数相加的微分等于各自微分再相加，举个具体的例子。

可以看出，函数的微分和自变量的微分始终是成正比的，这个比值就是导函数，在上面的例子里是一次函数，那么有人就说了，我是不是可以继续对里面的一次函数求导？也是可以的这回得出的函数是一个常函数，我们把这个函数叫做二阶导数，

下面我们还是举物理上的例子，我们引入物理上很重要的牛顿方程，F=ma，也就是牛顿第二定律，a是什么？导数反映了函数随自变量变化的快慢，自变量如果是坐标x，那么它对时间的导数dx/dt就应该是速度，那速度再求导数应该就是加速度a，所以牛顿方程也可以写作

上面的是一个矢量式，如果只考虑一维运动，或是说运动只在x轴上，上面的式子可以写成

还记得我们之前说的势能定义吗？我们把76楼的第一个式子搬过来，带到牛顿方程里去，消去F，有

还记得我们之前说的势能定义吗？我们把76楼的第一个式子搬过来，带到牛顿方程里去，消去F，有

接下来是一个技巧性的推导，请大家紧跟我，现在引入速度定义式

把上面x的二阶导换成v的一阶导，然后进行以下操作，上面也提到过，dx，dt这些，作为一个整体是可以约分的

所以99楼的式子写成