这时我们应该确定的说，如果一个两个变量y，x有函数关系，那它们的微元dy，dx总是成正比的，而且这个比值和x有关(每一个x确定一个切线斜率)，是x的函数，我们管他叫函数y=f(x)的导函数，简称导数，这个函数的自变量是x，我们记成f'(x)

嗯，切线斜率，其实这东西就是用来看图像在这一点"有多陡"，导数越大的地方，函数随自变量变化越快，而且，这斜率要是为正，这函数就是增的，若为负，函数就是减的，若为0，函数不增不减，很有可能是取到了极值，因此，我们经常用导数为0求极值(但有时会失效，可以思考一下是为什么)

其实各位应该早已看出来了，λ(x)就是m(x)的导数，所以求导数的具体表达式就把34楼的式子换一下

好了，导数也说完了，接下来回到上面的dm(x)=λ(x)dx，将其代入50楼的式子得到下面的式子

嗯？瞬间懵逼，这是在干什么？我是谁，我在哪？别急，这就是一步代换，线密度乘线元就是质量元，再积分就得到质量，但是我们觉得这个上下限太特殊了，我们准备找两个一般的数a和b，这时就是从杆上横坐标为a到b之间这一段杆的质量，回想我们之前定义的函数m(x)，那这一段质量Δm应该等于m(b)-m(a)，所以有这样更加一般的式子

我们来直观看下这式子什么意思，每个dy对应一个dx乘切线的斜率，就得到一些小的竖直线段，然后通过积分把这些线段加起来，就是大的竖直线段Δy的长度，其实理解起来也没有什么困难吧

现在思考一下，除了质量的例子，你还能举出什么量之间是原函数和导函数的关系？从微分的角度看，我们需要两个微元成正比，从积分的角度看，我们要把这些微元加起来，其实，一般涉及到一些东西的乘积时，或是涉及到一些东西的比值(尤其是用比值定义物理量时)，我们可以着重说一下乘积的问题，物理上的乘积，涉及到位置的，最简单的就是做功了，按做功的定义，在某一个恒力作用下，物体从原点沿直线运动到x处做功的表达式，

补充63-65楼的内容：这里λ(x)是m(x)的导函数，m(x)就称作原函数，如果写成f(x)和f'(x)的形式，这个式子又叫牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中最重要的公式也不为过

现在这个式子中的W和x都是变量，由于是恒力，所以F是常数，我们想通过找微元的正比关系来找原函数和导函数是什么，我们应当找的微元是函数的微元，这里有两个函数，x和W(x)，所以我们应当找dW和dx的比值，这个比值是什么？是F吗？我们回想一下上个例子中dm和dx的比值，是λ(x)，当λ是常数的时候，我们可以看出m直接可以等于λx，与上面F恒定的表达式相似，我们可以认定，dW和dx比值应当是F，毕竟在大尺度下成立的事情，在小尺度下也应当成立(因为大尺度就是一堆小尺度加起来的啊)，那么这个式子会成立，在F恒定的情况下

那么F如果不恒定呢？我们假设F只是x的函数，与其它量无关(我们管这样的力叫保守力)那这个力作用dx之后做的功应当是dW，那我们会得到dW=F(x)dx，很多人会有疑问，为什么是Fdx而不是xdF？实际上，如果从68楼的式子出发，去掉F恒定的条件(之后会说明，这样做之后68楼的式子不会成立，我们先姑且假设成立)，假定有一个函数关系F(x)，那么我们需要的操作是两边微分，右边微分就是把右边两个函数都移动到x+dx的状态，就是F(x+dx)*(x+dx)，*代表乘，再和原来的状态相减，这里F(x+dx)可以改写成F(x)+dF(x),简写作F+dF，所以dW应该是这样的

那个dx的平方因为取极限的缘故等于0，所以dW最后应该是

这式子什么意思？右边第一项，是x不变时力变化一点做的功，第二项是力不变，位置变化做的功，从我的描述就可以看出，位置不变而受力改变是不会做功的，所以第一项为0，所以做功的正确表达式应该是

利用牛顿-莱布尼茨公式这东西右边应该是某个东西的变化量，我们不想直接用做功的变化量，因为功是一个过程量，所谓过程量，和过程有关的，不是和当前状态有关的量，而是和开始和最终的状态有关，与过程量相对的是状态量，就是只和此时此地状态有关的量，通常情况下，从一个状态到另一个状态的过程量，可以写成两个状态量的差，所以功这个状态量就可以写成两个状态量之差，这个状态量只和位置有关，是位置的函数，还记得功是什么吗？是能量变化的量度，所以这个状态量就是某种能量，这种能量只与位置有关，所以我们管他叫"势能"，记成U(x)

老哥你写错了吧，右边符号反了，牛莱公式(即牛顿-莱布尼茨公式)右边是末态减初态。。。其实并没有写错。。。我们来定义下势能这东西，其实定义势能，就是把一个力换成了一种能量了而已，回到刚才的物理情景，我们说一个物体，或者说质点，在一个力的作用下走了一段距离，那么，就这个情景而言，这段距离走过之后，势能是增加了还是减少了？我们假定原来是静止的，走过一段距离之后有了一定的动能，可见，势能应该是减少了，所以，势能的变化量是负数，但做功是正的，所以这个力做的功是势能的减少量，另一方面，从牛莱公式可以看出，U(x)的导数与f(x)差一个负号，所以我们这样定义势能

积分号为什么没有上下限？因为带上下限的积分可以看作一个函数的增量，这样的积分叫定积分，这个函数是什么？根据牛莱公式，就是原函数，我们如何求原函数？求原函数的运算，叫做不定积分，为什么说不定？对于一个函数来说，它的导函数是唯一确定的，但原函数却不是确定的，换言之，一个函数只有一个导数，但一个导数却有很多原函数，为什么会出现这种情况？之前提到过，导函数是切线斜率随x变动的函数，那观察一下下面这些函数，他们的切线斜率有什么关系？