其实说是所谓定义了dx，这东西压根找不到，其实一个更实用的定义是Δx趋于0时某个式子的极限，所谓某个式子，给一个例子

我懒得写lim的时候(可见dx暗含取极限的意思)

展开之后发现这东西等于

取极限后这东西就等于2x，这是一个简单的计算，我们来看看这个dx代表什么？为了保证点没有长度，我们将其定义为两点间的间隔，那回到杆的问题，两点的间隔里有没有质量？如果有，我们称之为连续的质量分布，如果没有，我们称之为离散的质量分布，我们姑且认为杆是连续的，那么每一个间隔对应一个质量，这个质量在间隔很小的情形下应当与这间隔的长度成正比的，即这一小段的质量我们称之为dm，应当等于dx乘一个比例系数，我们记为λ

再来思考一下，对于每一个小间隔，比例系数λ都是一样的吗？这个λ意味着什么？λ越大，每一小段的质量就越大，质量越集中在这点，有一种密度的感觉，我们称作"线密度"，每一个间隔的线密度可能相同，也可能不相同，如果是前者，那这杆就是均匀的，如果是后者，那就是不均匀的，又回到了这个问题，如果我想知道具体的分布情况，我们就应该把每一点的线密度写出来，这里我们提到每一点的线密度，指的是每一点右边间隔的线密度，(为什么是右边？因为我想放右边→_→)这个线密度λ与x应当是一一对应的(还是因为极限的思想，点特别多，特别密)于是我们写成一个函数λ(x)

这个函数的具体表达式反映了质量的分布情况，那我们怎么求得这个函数？假设我已知了这样一件事情，在杆AC上每一个x对应的下面这样一条线段AB上的质量m(x)，我该怎么求出λ(x)？注意，这是通过一个函数去求另一个函数

首先，我们31楼有一个式子dm=λdx，变个形λ=dm/dx，首先什么是dm？是这一小段的质量，但我们上面的m(x)是一大段的质量，但这也不难办，减一减就行了，我们这样操作用后一点的m(x+dx)减去前一点的m(x)不就得到dm了吗？所以λ就应该是

度娘又吞贴。。。贴吧果然吃枣药丸

我们把图像画出来观察一下，λ是x的正比例函数，m是x的二次函数，这表明，当线密度随x正比例增加时，累积的质量m随x²正比例增加。

那么上面的累积是什么意思？就是把所有的冰累积起来，即把所有的dm都加起来，我们可以写成下面这种形式，但也可以用一个其它的符号来简化这个式子，这个Σ有求和的含义

这里很不严谨，既然出现dm这种东西就不应该有Σ了，因为dm本身是趋于0的，那要加的项数(即上面的n)也趋于无穷大，对有限个东西求和的Σ失效了，我们必须使用适配的符号――∫，这个叫积分，它表示将微小的量累积起来，我们可以理解为小精灵耗费的所有冰的总和，积分号上下的x和0叫做上限和下限，表示从横坐标为0的地方走到了横坐标为x的地方

上面这个例子提到了两个运算，微分和积分，也提到了两个函数λ(x)和m(x)，这两种运算和这两种函数有很大的关系，我们从上面看出，微分就是切成很小很小的小段(我上面一直称作"间隔")，例如对m的微分dm，而积分却是把这些dm加起来，所以，把一个函数微分再积分，就相当于什么都没做，还等于m(x)本身，所以我们把微分和积分称作互为逆运算

这里有几点说明的，首先，以上的m和m(x)是一个东西，我有时写顺手就会省了自变量，其实对于初学者还是把自变量指明的好，但是上面有一些地方没有指明，我的锅。。。之后我会尽量加上的，其次，上面所做的讨论都是基于m(x)是一个连续的函数，"连续"，通俗地讲，就是图像上的点都是紧挨着的，没有间断的，一般的经典物理量都会满足连续的条件的，所以连续性大可不必担心，对于λ(x)，我们称之为m(x)的导函数，至此，就完成了对积分的基本了解，接下来会说一些应用，其实也是加深理解的。

其实积分这东西多好理解，就是把一堆沙子拼起来，这些"沙子"就是上面的dm，我们一般称之为微元，质量的微元叫质量元，长度的微元叫线元，面积的微元叫面积元，你要计算什么就把这些微元加起来即可，但是微元和微元之间又有什么关系呢？我们为什么费这么大力气把这些沙子拼起来呢？难道是要拼个沙雕(雾

微元和微元的关系是什么？可能有什么关系？其实上面就有一个例子，31楼的式子dm=λ(x)dx，这里面有两个微元，dm和dx，可以看出他们对于某一个确定的x来说，是成正比的，就是说，dm和dx的比值和dm和dx均无关，只和x有关，是x的函数，所以这里λ(x)就是两个微元的商，简称"微商"(不是卖东西那个)，其实很多微元都是成正比的，比如对一个函数f(x)来说，dx和dy有什么关系，也成正比吗？我们把f(x)的图像画出来，因为dx，dy都是很小的间隔，所以在这一点的图像和dx和dy就组成一个直角三角形社，这里的斜边所在的直线叫做这曲线的切线，这条切线与x的夹角也是这三角形的一个角，那么这里的dy和dx的比值就是这夹角的正切，也是这条切线的斜率