这个表达式是怎么来的？真的是外星人所为？
当然不是。这个表达式实际上是arctan(π/4)的展开式，做了一个叫做“加速收敛”的数学变换之后得到的。
这一点我也是刚刚知道。而且就是现在仍然不知道这个运算到底是怎么做的。
但这不影响我们要讨论的内容。
因为我们要的，是关于tao，也就是τ（π/2）的解释：它到底是什么东西。剩下的数学上怎么对应在一起，这件事早就有人完成了。

既然选择了用公式表达，那就把公式进行到底吧。
如果你对公式表示头痛，没关系，文字述说了同样的内容。

现在我们就具体研究这个τ，
它从最小，最内部的开始，到最大的，最外部的所有部分，都遵循同一个结构，所以说或它是递归的。
而这个结构，就是

我们知道，虽然π也好，二分之π也好，τ（tao）也好，最终，都不会等于4（或者2）。说它们收敛，可能不恰当，但是它们也不发散。这意味着，当n逐渐增大的时候，tao实际上会出现左右两个值非常接近的情况。
仔细看一下分式部分，n除以2n+1，当n特别大的时候，那个1基本上可以忽略不计了。那么剩下的额就是n除以2n。也就是二分之一。
这时候是什么意思呢？
这个意思就是
2=1+(1/2)*2
也就是，2等于，1加上2的一半。
显然右边的2，又可以继续展开，
2=1+(1/2)*(1+(1/2)*2)
也就是，2等于，1加上某数的一半，而这个数又等于1加上2的一半。
只要你愿意（并且能够），你总可以把右边的2展开为1加上2的一半。
这个恒等式是不会出任何问题的。
当然我们讨论的是tao，不是2。而这些分析，实际上给出了一些关于数值处理方法的提示。
2等于1加上2的一半，左边也是2，右边也是2，这提示我们，tao等于1加上tao的（大约）一半。
当n尽可能的增大的时候，左边的tao和右边的tao尽可能的接近：不用趋向无限或者无限接近的说法，因为终究是有限的，而这个极限，就是i。
也就是说，这个展开过程，讲在i出现之后结束。

也就是这种形式：

这个表达式可能最让人不解的，是中间那个括号里面没有东西。
不严格的说，当i足够大，里面写多少都差不多。但是，如果一定要问，应该写多少，那么我们只能根据用
2=1+(1/2)*2的那种形式来理解，那么，我们在那里，只能写2。而实际上应该比2大一点。可是大出来的那一点，已经小于1/i，也就是说，从网孔漏了出去，所以你大可以把多出的那一点当做0处理，就写2就对了。
这似乎意味着，π的一半，本质上就是2，那么有人说π的本质就是4，似乎也有道理了。可是，在后面的分析中，可以看出，虽然这里写2，但是若本质意味着离散状态的基态，那么这个值不是2，而是1.5，换句话说，π的本质不是4，而是3。其实你可以从二分之π，只是比1.5大一丁点，而不是那么接近于2上看出这一点。π比3大一丁点，而不是那么接近于4，也是一样的理由。

现在，假定i确实非常大，以至于最后的tao和它导出的tao相等，我们将视角直接拉到极限i，看看在那是发生什么事情。

这就是tao的值。我们知道这个值确实比2大一丁点，至于具体是多少，决定于i，这也符合先前的分析结论。
等于多少其实不重要，重要的是，它是什么意思。
在继续之前，首先要区分一下，这个i，到底是哪个i。
有两个i，一个是
x+1/x=0
的结果，
一个是
x+1=0
的结果。
到底是哪一个呢？
因为整个过程中所涉及的都是整数，我们可以简单的认为这个i，是后者，也就是等于-1的那个（11点）。
我们认为这时候，没有比1更小的单位（像1/x那么小的）。
这时候，不难看出，分母
i+1
实际上就是周期，或者说，就是0.
而分子，则是周期之后，又多加了实拍的总量。
如果上下都可以减去周期，那么就会得到如下形式：
tao = i/0
当然没有这么算的！分子和分母同时减去一个值，当然不会和原来的分数相等！另外，这个0，也意味着周期，要是写，也应该写成
tao = i/(i+1)
也就是tao等于i除以i与1的和。

结果表达为

而不是，

这说明，作为一个比例关系，tao指的是，第一个周期又完全实拍，和第一个周期的比值。
而不是第一个周期和没有周期（也就是0）的比值。
如果要对应在图像上，它实际上并不发生在第一象限，而是发生在第二象限。
它指的，不是从1转向i的过程，而是从i转向-1的过程。

到底是什么意思呢？
现在让我们再重新画一次关于街拍的表格。比如周期仍然是6，也就是5个实拍，一个空拍。
比如实拍用X，空拍用O。
先画一行，5个实拍，1个空拍。然后第二行，第三行……一共画5行。
这就成了一个6乘以5的表格，最右边一列都是O，其它位置都是X。
现在我们选择一个位置，这个位置就是第一行的O的位置，作为起始位置；
然后，再选择一个终了位置，它是最后一行的第一个X的位置。
现在要问一个问题：不允许斜着走，只能横着或者竖着走，从起始位置，走到终了位置，要走多少步？或者说，起始位置到终了位置的长度（不允许斜着算）是多少？
从起始位置，显然可以横着往回走或者竖着往下走，假设竖着往下走，那么，包括起始位置本身，一共走5步，就走到了最后一行。到达最后一样的O的位置。
然后往开始的方向（从左向右写的，所以左边是开始的方向），包括起始和终止位置，一共走6步，就到达终止位置。也就是说，按照题目要求，从起始位置，走到终了位置，一共需要11步。
现在让我们用i表示实拍个数，
那么一个周期，就是
i+1拍，必须有1个空拍，不然无法拆分周期。
按照上述走法，i其实就是5,11步其实就是2i+1
而i+1，就是周期，也就是6。
把这两个值，相除，就得到一个
t=11/6=(2i+1)/(i+1)
对比一下，

这个t，就是tao。

我知道这并不那么容易理解。
X X X X X 0
X X X X X 0
X X X X X 0
X X X X X 0
X X X X X 0
从数量的堆积角度理解，显然得一行一行的堆积，才能从一个都没有，也一直堆积到30个。
或者说，从第6个（是个空拍），一直堆积到第30-5=25个，那个最后一行的开头的实拍。
也就是要堆积25个街拍，才能实现这种“移动”。
但是，如果我们忽略这25个节拍的堆积过程，认为横着堆积和竖着堆积，并不是1比6的关系，而是1比1的关系，那么，我们就有理由认为，堆积11个节拍，就能实现目标。
也就是说，从表格的右边和下边两个边走，总是比在表格之中来回绕道要快一些。
以这种方式，从第一行的结尾，走到第五行的开始，虽然没有堆积25个节拍，但仍然提升了维数。
都在一行之中，是一个维数，跨越了一行，到达两行以上，就进入了第二个维数。
当横着和竖着没有绝对差异，或者差异可以忽略的时候，用这种方式就能从一维提升到二维。
X X X X X 8
X X X X X 8
X X X X X 8
X X X X X 8
Y Y Y Y Y 8
沿着8和Y那条路，从起点走到终点。

1即无穷，无穷即1。(没看懂，可删)

所有这些解释似乎都太复杂了。
最简单的说法：从正方形的一个顶点，走到它对角线的另一个顶点，不能斜着走的话，将要走过两个边长。离散条件下，两个边长之外还有一个顶点，也是要算大小的。这条路的长度，和边长的比值，那个比2略微小一点的结果，就是tao的离散值。
当我们让n不断减小，从i一直减小到1，这个过程中，tao的离散值从极限值逐渐演化到另一个极限值，而整个运算之中，间隔为1的递减方法，保证了对于经历的每一个整数，都符合这个比率关系。
为什么不能把圆变成方呢？
显然变不成，无论是面积还是周长，都不能。
从上面的关系可以看出，构成圆的这样一个结构，要符合的是从1到i的所有边长的方形，那么它就注定没有办法只符合特定边长的方形。
为什么是一个比率？当然是比率：弧度π/2指的是，当半径为R的时候，对应的弧长为πR/2，或者说，半径为1的时候，弧长为π/2，这就是比率。
由于
tao=(2i+1)/(i+1)
在离散条件下，tao的最小值，是i=1的情况，此时tao等于1.5.
在极端连续条件下，tao的最大值，是i尽可能增大的情况，此时1被忽略，tao的值将不会达到2。
1.5是可以得到的值，此时π为3；2是不可能得到的值，此时π为4。
由此说来，认为π等于4的想法，相比较于π等于3而言，并没有更好一些。
到此，我们只分析了极限情况下tao的取值，并没有严格分析整个递归过程，这些变化是如何导致tao这样取值的。所以严格来说，这个分析并不完整，也并不成功。但是，这个分析过程可以帮助你看到圆的本质：它只是为了符合所有那些根本不可能圆的结构得以同时成立而得到的折中结果。

这些理解到底有什么用呢?
在知道了tao的定义之后，或者π的定义之后，我们就可以使用那些“不标准的圆周率”了。
不仅如此，我们还可以知道，我们这个世界的圆周率，到底有“多么不标准”。
因为i的有限性，所以任何π或者τ，都不可能是那个永远算不完的值。而这个值到底从哪一位开始不准的，就决定了i到底有多大。换句话说，如果你能知道，你画一个圆，它可以最圆圆到什么程度，那么，从另一个角度而言，你也就知道了自己的i，到底有多大。也就是你的时空尺度的极限。

从e的结构可以了解到，它的“无理性”，正好是为了兼容每一个整数“有理性”而出现的。tao的结构也是如此。
这些数之所以“完美”，不是因为它们纯粹，反而是因为它们杂合：正如白光并不是一种单色光，而是各种颜色的光混合的结果。
但无论如何，存在性的有限性决定了对于特定观察者，整数总有极限，那么在这个极限之外的“完美”，就无法实现或者验证了。从这个角度上理解，决定事物有多么完美的，不是事物本身，而是观察者观察能力的极限。
若所观之物的“完美程度”可以超越任何观察者的观察能力的极限，那么这个所观之物才是真正完美的。
然而，正如无穷数量无法用计数的方式来获得，这个完美，恐怕也只能是一个概念而已。
但是，若你放弃计数呢？或者你不再追求完美呢？那么实际上，多小的数都很大，因为此时大小已经失去了意义；
多不完美的存在都很完美，因为此时完美的意义也不重要了。

e，π，i，0，还有-1，可以说，都说清楚了（也许π的解释还要加强一些）。
如果上帝真的做了什么，那么他做的，就是设计了人的结构。结构决定功能，所以人就用这样的功能来了解世界，当然也包括自己。
人本身的有限性，必定发展为理解一切的有限性，以及理解到的一切皆为有限性的体现的结果。
但不要因此而悲观：意识到这些有限性，正是真正从有限走向无限的开始。

想说明白一件事，往往要比看上去难得多：对π的解释，必须加强，不然真的会让人一头雾水。
现在，根据
tao=(2i+1)/(i+1)
的表达式，我们得到了一个比2略微小一点的tao。
这个tao显然不是π，也不是1.57左右的那个π/2.
严格来写，
tao = (2i+1)/(i+1) = (2i+2-1)/(i+1) = (2i+2)/(i+1) - 1/(i+1) = 2(i+1)/(i+1) - 1/(i+1) = 2 - 1/(i+1)
其中i+1，也就是周期，或者就是那个所谓的“无穷大”（因为它已经超过了观察者能够承受的极限，也就是i）。它的倒数，显然也跌出了网孔，也就是0（不是从头开始的意思，而是没有影响的 意思）。
所以，从效果上来说，完全可以认为
tao = 2
这个tao就是上面那个奇怪的表达式中，空括号里面应当写的东西。

至于你愿意写2还是愿意写(2i+1)/(i+1)亦或是写2-1/(i+1)，其实都一样。
这个括号里面的tao，显然不是最左边的τ，或者说π/2.
那么，从这个tao，到那个τ，经过了什么样的过程，要得到的又是什么结果呢？
虽然应当避免使用几何概念，因为这是导出几何概念的地方，使用几何概念导出几何概念，无异于循环论证。
但是，使用几何概念更容易让人理解，这个好处也是显而易见的。
那么现在就让我们用几何的方式，来解释这个过程到底要干什么。

考虑一个规则的二维物体（也可以是一个生命），和一个二维观察者。
二维物体和二维观察者都处于同样一个二维空间，这样要求是为了避免两个二维空间导出三维的结构来。
对于它们而言，只有一个世界，这个世界就只有一个平面。有限也好，无限也好，都没有别的平面，以至于它们都无法认为它们生活在平面里面（没有比较，也没法区分，所以也不能定义）。
那么二维观察者，看到的规则的二维物体，是什么样的呢？
二维观察者无论如何也无法观察到真正的二维的景象，因为那需要超出二维世界之外，而这是它无法做到的。它若观察一个二维物体，它只能得到一维的结果。也就是说，不管另一个二维物体是什么样的，二维观察者最终只能观察到一条线（假设只有一只眼睛）。正如三维生命，比如人，能观察到的其它物体，也只能是面而已，人是通过双眼看到的两个画面进行内部的综合处理之后，才构建了所观之物的三维模型。
当然二维观察者如果用两只眼睛或者更多眼睛，也有可能构造二维的所观之物的二维图像。但正如三维观察者即便建立了模型，那个模型也不必然和真实情况一致，二维观察者也会面临一样的问题。为了简化，我们要求二维观察者只有一只眼睛。
所观之物，若是生命，它有运动的能力。在二维空间，可以进行的运动，比如平移，缩放，或者旋转，它都可以去做。现在我们不考虑平移和缩放，只考虑旋转的情况。
这里所谓规则的二维物体，我们使用的其实仍然是三维视角的定义：比如正方形的二维物体，我们在三维世界观察到的二维世界的正方形，和在二维世界的观察者观察到的同一个物体，完全不是一回事。
那么二维观察者观察到的正方形的生命，会是什么样的呢？如果这个正方形的生命要尽可能的展现它自己，那么最好的方式就是按照某个中心进行旋转（比如正方形的中心），这时候二维观察者将会观察到一条长度不变变化的线。先边长，后变短，再反复，长度的变化具有以2为周期的周期性。最长的时候长度达到最短的长度的大约根号2倍。
如果是等边三角形的生命呢？同样绕着其中心旋转，二维观察者将会看到先变大，再变小，长度变化具有以3为周期的周期性，最长的时候长度达到最短时候长度的2/Sqrt(3)倍。
虽然二维观察者最终也没法得到三维的景象，但是这些特征使得二维观察者可以区分这两种不同的生命，能够意识到它们具有不同的二维形状。