我们活在这个物理实相中，为了生存和发展，基本上没有选择，只能尽可能的了解自己生存的环境。
了解的越多，就越主动，也就是不被动：假如你了解地震到底为何发生，那么汶川地震是否可以预测？
造成的伤害是否可以避免？
不要对我说地震无法预测，要说的话，严格说，地震到目前为止无法预测。这个说法我能接受。
这就意味着还有很多的工作要做。而不是意味着推卸责任，说什么不可抗力。
你对自己要求严格一点，别人可能就捡一条命，而那一点，是不是就是无穷小？

也许，所有的工匠，最终都会走到这一点上来。共同的愿望使得他们结成一个组织就具有了一定的必然性。
虽然我个人非常反对组织这种东西：它往往徒有其表。
无穷大和无穷小的问题基本上就讨论这些。简单说，就是那个你曾经认为的要多大有多大的无穷大，最后还是会在
你无法继续要下去的时候（比如你死了）而终止。无穷小的那种和零无限接近的想法，也会在你测量不下去的时候
达到极限。而有限的生命和无限的世界相比较的结果，恐怕连零都不是。那么你总是会发现新大陆的可能性就非常大了。然而不断的发现新大陆，最终也有极限，那个极限就是，你意识到，那个过程可以停止，你要继续走下去。
而这些将会发生在很远的未来，也许远远超过个体生命周期的若干倍。
回到物理，无穷小下面那个极其庞大的世界，就这样显现出来了。你现在还会继续认为数数这种小孩子的游戏
平淡无奇么？
如果这么说还不明白，那么更明白的方式如下：这个世界的出口在哪里？在你能够达到的最小的时间和空间尺度极限之处。那之外就是这个世界之外的世界。或者说，那就是逃出牢房的方向。它不在东南西北上下左右的任何方向上，它在你身上的每个原子，它的电子，质子中子等等，的里面。
通过对数学无穷小现实能力的分析，找到了物理学无穷小的下限存在的根据。那个下限不是先前认为的无穷无尽，而是有限的，就像光速是有限的一样。而小于那个下限的世界，是无限世界中存在的绝大部分。
有一个比喻虽然做不到，但你可以想像：把一个皮球，不撕破表面，把它的里面翻到外面来。原来你认为里面那个
空间是有限的，很小的，外面的空间极其的大，而你住在外面的球皮上。而这个皮球翻过来之后，你其实住在有限
空间的里面，外面这个曾经是里面的空间才是真正极其的大。是这种里外相反的关系，把你困在了里面：因为你认为你在外面，里面没有东西。而那些在里面的才真正活在更大的空间里，相比较而言，你生活的就是一个监狱。

这就是分析的力量。
若没有对数学能力极限的分析，我相信就是打破脑袋，也没法想到这种情况。
因为现实生活中没有任何迹象能够给你任何启示。
至于这个理解是怎么来的，单独用数学是不够的，单独用物理也不够。改进的复数理论加上改进的微积分理论加上改进的相对论（狭义和广义都有，广义只考虑原理，计算太复杂），就能做到。
另外，这个比喻也不是我的发明，只是直到现在，我才真正读懂它的意思。
我知道你还没有完全明白。不过没有关系，你早晚会明白。

下一次，我可能会讲自然对数底e和圆周率派，不对，是二分之派。

每次写帖子，就如同要褪一层皮，超级累。
不是要表述内容累，而是要面对未知的读者累：你不知道谁在读这个东西，你可以猜测，但是你能满足这种需求，
恐怕又正好否定了另一种需求；你站在这个角度上解释，恐怕正是站在另一个角度上的人无法理解的。这个事情，
真的恐怕谁也没有办法。能做的就是用大白话，加上大家日常的生活经验，但就是这个也不行。有些人的生活经验是柴米油盐，另一些人则是香车美女。所以说，若恰好没有站在你的角度上给出解释，请见谅。
但相比较于完全不站在任何角度上，把公式放在这你自己去看，也许还能好一点。
因为公式，多看几次能够看出里面的关系，但是无论你怎么看，你都看不到它产生和发展的历史。

前面有吧友回复“是接近于0而不是0”，我知道那是极限的概念。
但当对于y=x^2求导的时候，你得到的是2x，而不是x+delta x ,是2x，就是让delta x等于0，而不是接近于0。
你写的东西表达你的意思，一个没有出现的项目，你不能说它“意味着趋近于没有出现”，你只能说它没有出现。
所以才引出了，在对y=x^2求导的过程中，除法和加法对于同样一个叫做无穷小，或者趋向于0的东西，做了不同的
处理，这样一个“值得仔细检查”的问题：而这个很简单的问题，我却没有办法在教给孩子的过程中自圆其说，所以
我要知道到底发生了什么事情。

脱离历史谈论一个历史阶段的产物，会让人迷惑。
贴吧很小，但这么一个特殊的贴吧，也有它的特殊的历史。这个历史对于许多新吧友来说，恐怕是无法知晓的。
尤其是在很多帖子已经消失之后。
为了解释为什么会发生这些事情，我把那个缺失的历史，试着复原一下：若干年前，应该说快要十年了，那个时候大家谈论的内容是2012世界末日。对于这么一个世界级的事件，站在不用视角上的吧友显然也有非常多样的反应。
有期待，有恐惧，有迷茫，等等不可尽数。
其中有一种想法，也意味着很多人的生活现状：他们非常痛恨这个旧世界，希望新世界早点到来。这种期望使得
他们倾向于一种破罐破摔的态度，或者主动引发世界末日的行为。
实际上也正经有一段时间，这也是我的想法。但是经过很多的事情之后，觉得这个想法不妥。
所以当大家谈起这件事情来，我提出了一个建议：让这个世界继续，而用一种通过自身努力，而不是毁坏的方式
来改变这个世界。作为条件，我许下一个承诺，就是，既然我这么说，就从我自己开始，做我能做的事，实现这个
想法。
而我能做的，就是研究：研究明白什么是什么，是怎么回事。然后在研究结果的基础上，才能去改变；希望亲手创造一个美好的世界，或者修改一个不太好的世界，总不能胡乱创造，胡乱改变，对吧？
而在这将近十年之后，很多当初我要研究的题目，已经获得解答。
那么我就应该回来，履行我的诺言。
所以才有这些：我把我知道的告诉给你，不一定正确，但比完全不知道要好一些。我把我使用的工具给你，
也不能保证你也能很顺手的使用，但是恐怕要比完全没有工具好一些。
这才是这些文字得以写出的合理性的基点。
对于不了解这个基本点的吧友，还有一些要说明：首先我不是教科书的编写者，你无需把我当回事，我不出书，
也不考试；你不看这些没有问题，你看了也不会如何；我不挑战任何理论，也不打算证明任何定理，也不想拿
什么国际奖项，也不需要和你进行学术水平的比赛。这些都不是我要的，对于我来说，也没有意义。我在履行我的
承诺，而这个承诺本来也没有和你达成，所以本质山我也并不欠你任何东西。所以请找好自己的位置，不要做让人
厌恶的事情。
这个意思实际上已经表达了多次，并不是今天第一次，而是十几年无数次。换了你是不是会觉得很累？
能理解就好了，所谓理解万岁。

说很累还有一个原因，就是每次要写东西，都要准备怎么写。
而这个组织语言的过程，需要相当长的时间。原因在于，文本的线性和意识的非线性本质非常难于调和。如果我同时能说十句话，那就好了。如果我可以把我脑袋里面的图像直接映射出来给你看，那就好了。但我都做不到。另外
也没有这个绘画的水平，因为很多东西实际上是动态过程，那就不是画，而是动画片了。不仅如此，文字表达方式
看似严格，但网孔（也就是漏洞）其实也很大，基本上任何一句话，你要是认真找毛病，一定有其不完备之处。
所以切莫执着于词句，请通过词句给出的框架，理解后面的图景或者过程。佛陀曾经用“手指月亮”来比喻：你不要看我的手指，你要顺着手指的方向去看那个方向上在远处的月亮。
由于思维（也包括一定层次上的意识），基于神经系统而存在，神经系统的网络结构导致思维必定以网络结构构成。从彼此关联的网络结构到线性的语言结构的转换，可能丢失大量信息，或者为了尽量保持信息，需要调制和
编码。那么这个时候就会出现一些奇怪的情况：你有没有经历过，一个你熟悉的汉字，但是你仔细看的时候，你
突然发现你不认识它了。这就是一个表意符号，如果你把它拆开，会出现的效果。它的意思必须在上下文的（也就是它的所有偏旁部首，所有笔画）环境中才能存在。而你拆开它，这个环境就失去了。所以，请勿要截断特定章节，那样会使得特定章节无法被正确理解。（就像把一个霍夫曼编码的数据流，去掉它的概率表之后，它就成了随机数据，基本上没法恢复了）
还有，这种思考方式，需要大量的各种学科的知识，而且往往不区分学科，这对于习惯于特定学科学习的吧友来说，我认为是常识的东西，你可能从未听过。这也很正常。对于这种情况，你若需要，可以指出，我会给出相应的解释。

回到自然常数的讨论。
应当承认，被称作上帝方程的欧拉公式，确实是很美的。
e^（Pi*i）+1=0
e，pi，i，1，0，+，=
这些东西都是非常基本的，而一个公式把它们都包含在一起，这个公式可以说相当了不起。
但是很“不幸”的是，工匠们要生产有用的产品，石匠们要建造宏伟的建筑，以保证产品到达用户手中的时候，
用户看到它会说它是很美的，以保证建筑到达住户手中的时候，住户会认为它是宏伟的，那么工匠和石匠
就失去了欣赏这种美好的“福分”。
这不是说他们天生福薄，而是如果他们也享福，用户就无福可享了。
而对于工匠而言，什么东西最美呢？
老实说，最简单的最美（最省事，少挨累）。
直角三角形简单吗？
不简单。
因为你要造直角三角形（这个结构的东西），就得用a^2+b^2=c^2。
你愿意算平方吗？
如果总是让你算平方，你会否有一天问，平方是个什么东西？
而这种东西：
e^（Pi*i）+1=0
简直就是灾难！
e可以知道是2.718...，pi可以知道是3.14，i是多少？（如果你看到了上文，这个问题目前你可以给自己一个解答了）
它是什么意思？怎么把它造出来？也不知道e是什么东西，pi是什么东西，i是什么东西；
就算欧拉给的推导过程明明白白写出来的，这个推导过程丝毫没有给出“原材料”构成的任何信息。
你可能会问的是，什么样的工匠，需要知道pi和e是什么东西？
这确实不是一般的工匠，或者说这不是一般的任务。这到底是什么意思，后面具体说。
按照工匠的视角，或者再高级一点，系统管理员视角，再高级一点，系统设计师视角，或者，系统分析员视角，
咱们来讨论一下“原材料”的构成。

自然对数底e，据说，最早来自于对数表的制作过程。
那个年代对数被发现和使用，也很好用，就是算起来太麻烦，算起来麻烦的东西，不像1+1那么直观的东西，没人愿意天天算它。所以把一些常用的情况列出来制成表，大家可以共享，可以省时省事。在制表的过程中，大家发现用某些特定的数制表的效果比其他数要好。这里面，2.71828...这个数似乎是最好的。
我不知道那个时候有没有人意识到为什么，也不知道后来有没有人证明它为什么是最好的，不过我暂时认为，这个证明不难实现（我也不打算证明它，也不打算在本文中证明任何东西）。这就是它最早出现的缘起。

插一句，关于直角三角形：
算平方难不难因人而异。对于约翰瑟尔（瑟尔效应机），只有小学毕业水平，对他来说就很难，或者说，很难理解：你习惯了，你从小到大都是这么学的。如果你从小没学过，到二十岁的某天突然看到这个东西，你就能明白他的感觉，那个感觉大约可以总结为：这是干什么呢？为什么要这么做？
直角三角形对于我来说难不难呢？
从得到ERROR的那个时代开始（应该是24年前了），每隔一段时间，我都会把火车实验重复做一遍。
火车实验就是爱因斯坦导出狭义相对论的那个思想实验。
对于不了解的吧友来说，简单解释如下：
在一个具有速度v运行的火车中，从地板向着天花板上发射一束光，天花板有一面镜子再将光反射回到地板。火车在运行，光也在运行。火车经历了t时间之后，运行了vt的位移，光在车内的观察者而言，经历了上去又下来的直上直下的过程，距离为ct'，而在火车外面站在地上的观察者观察这个光的运动过程，则不可能是直上直下的，而是斜着上去，斜着下来的，这个长度为ct。由于上去和下来的过程对称，只考虑一半的情况，把t'和t都缩减一半，把光在内部和外部的运动轨迹都缩减一半，把火车运行的位移也缩减一半，完全没有问题，而这就得到一个直角三角形。而这个直角三角形，经过简单计算之后，就可以得到，不同的相对运动速度v，是如何决定火车内的时间和火车外的时间的关系的表达式。
每次做这件事情，这个直角三角形是一定要画的。每一次都看到的是同样的勾股定理。
如果这是一个几何意义上的简单三角形就好了。
可是，它不是。它是一个混合了时间和空间的三角形。现在，让你用空间长度a做一条直角边，用时间长度b做另一条直角边，然后构成一个直角三角形，你打算如何做？
你没法做对吧？因为就算你明白什么叫做时空统一体，就算你可以毫不犹豫的把时间当成空间，空间当成时间，你怎么把时间和空间做成直角三角形？就算你硬性的做成了，第三边是什么？
狭义相对论确实没有让任何人把时间和空间直接做成三角形。它更厉害：它要求把时间的比率和空间的比率做成直角三角形。直接的情况已经让人迷惑，这又做了比率处理：速度的比率决定时间的比率，这两个比率符合直角三角形的两个直角边合成斜边的关系。
如果它就是一个简单的直角三角形，那么通过调整它的一个锐角的角度，就可以改变时间相对关系。改成0度或者90度（决定于选择哪个锐角），v就是光速c了，为什么不能达到光速呢？这个想法导致我再大学一年级到三年级写了20万字。今天看来，这20万字都是不贴边不靠谱的。但是，若没有这些尝试，也不会然我找到我要问的问题是什么。
不怕问题不好解答，怕的是根本提不出问题来。
就在大约10天以前，为什么不能超过光速的这个问题都没有实质的进展。
也就是过去24年，同样直角一个三角形，反复又反复的画，都没有搞清楚它到底是怎么回事，
那么，对于我而言，你说难还是不难？

e的情况和直角三角形是类似的。
把一个
e=lim(1+1/n)^n
n->inf
放在你面前，你有何感觉？或者把
e=1/0!+1/1!+1/2!+...
放在你面前，你有何感觉？
这才是真正的不知所云：不知道历史，也不知道含义，你当然可以按照书本把它推导出来，你也可以把题目做对，
考个研究生。然后呢？
第一个是定义式，第二个是用泰勒公式（麦克劳林公式）做的展开式。第二个公式我很早就知道，程序也能写，
当然也能算。但是说实话，看不出任何门道来。
第一个是定义式，我始终忽略了它。但是在大约6年前的时候，在网上找到了一篇关于它的解读，这才让我开了窍。
那么下面我要讲的就是这个解读：
你在银行存了一笔钱，咱们假设说，就存了一块钱。存银行，而不是买股票的原因，就是你希望能够获得稳定的收益。因为银行已经承诺，一年（比如定期）下来，给你百分之多少的利息。也就是一年之后，你肯定得到的钱要多于一块钱。你选择哪家银行的区别，恐怕就是它承诺利息的多少。
咱找一家非常好的银行，它承诺的利息是，如果你定期存一年，就再给你一块钱，这个利息相当高，是100%。一年之后就变成两块，两年之后就变成四块……
写成数学形式，就是
（1+1*100%）^n=(1+1)^n (n是年数）
对于就算一年的情况，就是
（1+1）^1
但是，你似乎不满足，还想要的多一点，你就和银行商量（正常的银行不会和你商量），说，咱们按照半年算利息吧，一年算两次利息，每次利息是50%，银行答应了（确实没有这么傻的银行）。
这时候写成数学形式，咱们就算一年的情况，就是
(1+1*50%)^2=（1+1/2）^2
意思是前半年结算了一次，用百分之五十的利率获得了多余的半元，又作为本金，在后半年又获得利息，两个半年之后，就是一年。这种算法有什么特点呢？算一下，这样一年下来，你会得到2.25元。这比两块钱要多。
按照这个套路走，你若想获得更多，自然就把算利息的次数增加，并且把每次的利息减少，而实现的结果，
则是你在这一年的结尾会获得的钱数越来也多。如果你把次数设置为n，每次的利息设置为1/n，那么，一年下来的
钱数就是
(1+1/n）^n
这是个聪明的算法，但是，就算这样，一年下来，你也不会拿到三块钱。因为，
即便当n趋向无穷大，这个值仍然不会超过一个极限，而这个极限就是e，它大约就是2.71828...
这就是开头所说的
e=lim(1+1/n)^n
n->inf

不知道你是否发觉，在引入n之后，我就再没有提过两年或者两年以上的事情。
n虽然大了，但是事情都发生在一年里面。
这是为了保证，e这个值，无论n如何增大，都意味着某种“单位“，或者说某种”1”。
在银行存款，就是为了获得存款的增长。所以整个过程是一个增长过程。
随着n越来越大，增量越来越小，这个增长过程就是一个越发精细和光滑的增长过程，直到成为一个
连续增长过程。而这个增长过程作为一个整体又是一个单位增长过程（一年里面发生的事情）。
综合起来，这就是一个以单位1为起点，单位增量最小，增长次数最多的单位增长过程。
虽然数学中的无穷小最终还是有网孔，但对于和其伴生的观察者而言终究不可见，所以我们也可以接纳这种
有限的无穷小作为对应的有限观察者的实际的无限的无穷小。那么这个增长过程就可以认为是完全致密的。
也就是说，你可以假设一个球，它的体积为1，经过一个这样的过程（一年），它的体积增长了。而增长
出来的这个部分，是完全致密的。可能你会说，如果它本来就是空心的，这种致密有何用处？
其实我们可以把这件事放在“多年”的语境下，并让一个最开始就是对于观察者而言的无穷小的求，开始增长，
这个球因为对于观察者而言是没有网孔的，所以它最开始就是致密的。然后经过“一年”的增长之后，它的增量
又是致密的，致密的开始加上致密的增量，结果还是致密的。也就是一年之后，还是致密的。
下一年还用这种方式增长，那么再到下一年的开始，还是致密的。如果每一年都用这种方式增长，它就一直是致密的，并且一直增长下去。

由于最开始那个无穷小的体积，可以认为是一个单位体积，那么第一年增长的结果，可以用无穷小为单位来表达，就是1*e=e，第二年就是1*e*e=e^2，第n年就是1*e^n=e^n。当然你也可以不关心最开始是否是致密的，而直接用1作为单位体积，结果是一样的。把n换成x，就得到e的指数方程，
y=e^x
x就不必是整数了，它可以是实数。
另外，目前我们已经知道，虽然i这种东西可以是任何值，但是若能给定参照物，它最后还是可以落实到实数上：这样你能明白，为什么开始的时候费了那么大的劲来理解i是什么东西了吧？因为理解之后，它就不是“天上的浮云一般捉摸不定”的东西了。
不管i是否可以落在任何实数上，你都可以当它是一个数，最多就是还没确定是多少的值。那么它就可以用在任何实数可以用的地方了。
所以对于
y=e^x
x也可以是a+bi。也就是，
y=e^(a+bi)=e^a*e^(bi)
这样做，是因为复数和实数的鸿沟已经填上了。那么下面的做法，你会看到的是，复数和微积分的鸿沟是如何被填上的。