dimension：1
basis：{1}
猜的

我擦你学的这些玩意儿也太鸡巴难了吧。
不过这个和人大的自招题风格倒是挺像的

大概是无限维的（？）

要翻成英文我说不定能解，只是说不定，10%概率……
我很好奇你专业是啥，至少在美帝那里线性代数也是偏应用的，有些别的要线代作基础的课倒是会挖的深一点

@LunaPlena 那我试着用德语直译成英语试试：Let R be the set of real numbers, Q=(Q,+,•) the Field of rational number. We can view R as a vector space with normal/common addition as vector addition, commen multiplication as skalar multipliacation. The question is, which dimension has the Q-Vector Space R? How to construct this Basis?

我理解的意思是，从实数集中选出一组基（即一组实数），它们可以展成整个实数空间，其中数乘要求是乘有理数

首先基的数目不可能是有限的，如果是有限的，其张成的空间将是有限个可数集的笛卡尔积，仍然是可数集，因此不可能表示整个实数集。
那么可数集行不行？599提出用10^k来做基，虽然是线性相关的，但是确实可以表示整体实数集。因此基底应该是一个可数集。事实上，如果限制数乘为0~9的数码，这组基就是线性无关的。

另外线性组合（linear combination）只在加数有限的前提下有定义 - 至少我接触的版本是这样的。。

可数个可数集的笛卡尔积是不可数集，用幂集的写法就是N^N（连续统是C=2^N）。
对于无穷维空间（比如我选了可数个实数作为基底），其每个元素的表示必然是极限的形式。因此通过10^k虽然无法完全等同根2，却可以通过极限逼近它。在一个完备空间中，任何收敛列的极限都是空间中的元素。
又比如连续函数空间，这是个无穷维空间，其势为C，通过傅里叶级数展开可以表达所有连续函数，这里的基底显然也是可数个的。

和原问题相关的问题的一个通俗表达：我们可否仅通过对有理数作四则运算来造出实数/和实数等势的集合（答案显然是否定的）；

辅助命题：证明：｛log_2（p），p素数｝在Q上线性独立；

你问的是一个抽象代数问题。依题设，以Q作为标量，则任意x属于R，span（x）= Qx ：= ｛x*q，q属于Q｝

此时，给定y属于R，x，y线性独立等价于y不属于Qx，即不存在q0使得y=q0*x。问题转化为R\Q的代数结构问题

此时考虑超越数t不属于Q，1，t……t^n……线性无关。这样看来，至少是可数维的（我直觉应该是不可数维的