2楼老规矩，喂狗！

召唤术
@我心中的希特勒 @殇秦月 @qq610470924 @友爱守护者 @板凳王朝

话说狭义相对论我们已经进行过科普，没看过不明白的同学可以看这贴：
http://tieba.baidu.com/p/4077277715?pid=76692369713&cid=0#76692369713
今天，让我们再来看看广义相对论的诞生及推导原理吧！
首先，回顾下狭相的基本内容:
光速无论如何也不变，是吧？那正好，咱拿它当公设；物理定律在匀速直线运动系都一样，没问题吧？咱也拿它当公设。他用这两个简单的公设推来导去，导出一堆惊天秘密：
　　质量可以随运动变化，速度越快，质量越大。
　　时间可以随运动变化。速度越快，时间越慢。
　　空间可以随运动变化。速度越快，距离越短（距离是空间尺度哦）。
　　任何有质量的物质或信息都不可能超过光速!
　　能量和质量是一体的！
　　时间和空间也是一体的！
　　闵可夫斯基老师见小爱同学玩得有板有眼，深以为然，一时技痒难挨，用优美的数学把这些思想表达了出来，四维时空横穿六合，纵贯古今。
　　这个理论叫做狭义相对论。它所发掘的这些秘密，只有在高速运动，也就是近光速运动下，才能显现出来。
　　低速运动下，它的结论和牛顿力学保持高度一致。所以，牛顿力学只是狭义相对论在低速下的一级近似。

话说1905年，爱因斯坦挑战物理帝牛顿成功，成功地把自己晋级为挑战对象，被各种挑战至今。
挑战者中有数学家、物理学家、哲学家、神学家、政治家、党棍、流氓、民科等，但无论是正规军、游击队、预备役，还是绿林好汉、江湖郎中、大仙半仙，至今无一挑战成功。
不同的是，业内挑战者越来越少，业外挑战者却前赴后继。
　　这些业外挑战者的结论各种不同，但有一点惊人地相似，那就是都宣布自己成功了。他们深信，人有多大胆地有多大产，用嘎子哥就能摆平蝗军，只要把脑袋埋在沙子里，宇宙就和谐了。读少想多，概莫如是。当然这些都是后话，不提。
　　这里要说的是，为什么会有这么多人来挑战呢？抛除追寻更靠谱理论的业内人士不说，单说其他人士：
　　一个重要的原因是，一旦挑战成功，金钱美女就会像滔滔江水连绵不绝，荣誉地位就会像黄河泛滥一发不可收拾。
　　另一个重要原因是，狭义相对论的结论与我们的日常经验太不相符了，你不承认它吧，理论与实际闹别扭；你承认它吧，自己和自己闹别扭。
　　怎么别扭呢？
　　牛顿理论体系跟我们的日常认知和经验相符得很好，所以《原理》诞生后，它迅速得到各方面的广泛接受和认同，大家看了，是“原来如此”的感觉，而狭义相对论与日常经验相悖，人们看了是“岂有此理”的感觉。
　　狭义相对论颠覆了牛顿时空观，用全新的时空关系、质速关系、质能关系，向人们揭示出一个全新的世界。
　　它成功地解释了为什么光速对所有观察者都是一样的，还成功地描述了当物体以接近于光速运动时会发生什么。这给当时陷入尴尬的理论物理学界开启了一扇光明之窗。
　　尽管多数人并不理解它，但它与实验、观测相符的那样好，由不得你不信。
　　然而，即使与观测相符，也不是全盘通吃的。
　　因为它还存在一个很大的问题：它和牛顿引力理论不相协调。
　　为什么一定要和牛顿引力理论相协调呢？
　　因为描述自然、宇宙问题，是离不开引力的。而那时，在引力理论方面，牛顿引力论依然是最牛的——与观测最相符。
　　狭义相对论在解释运动、时空关系等方面更靠谱，而牛顿理论在解释引力方面更靠谱。
　　什么意思呢，打个不太恰当的比方，人家牛顿理论是套装，虽然上身很紧，扣子都系不上，但好歹穿上也能出门；你狭义相对论虽然大方合体，雍容华贵，但是只有上衣，没有裤子，想出门还得混搭牛顿引力论的裤子。
　　所以呢，如果狭义相对论与牛顿引力理论相协调，它们就可以相洽为一个“统一的理论”，大家都能站住脚，混搭成功，皆大欢喜；如果狭义相对论与牛顿引力理论不相协调，也就是说爱装和牛裤不搭，那就必须建立这样一套引力理论：它与牛顿引力论有一拼、与狭义相对论有基情。这样，狭义相对论才能站住脚，而牛顿理论就退居二线，甘当新理论的“一级近似”，发挥余热。
　　那么，它们搭不搭呢？当然不搭。
　　因为这两个理论的基础概念不同，比方说空间啊、时间啊等等，这是根子上的不搭，就好比羊皮大袄ＶＳ齐B小短裙。
　　但当时的物理还真就只剩这两件东西可穿了，一件都不能少。
　　尴尬是尴尬了点，总比树叶强。有人开始忆苦思甜。这虽然是一种有效的心理治疗手段，但是，它解决不了现实问题。
　　根据牛顿理论，物体间的引力，其大小与距离关系密切，但它们的传递与距离无关，如果移动一个物体，另一物体所受的力就会立即改变。
　　这就是说，引力的传递速度是无限的（超距作用），这与狭义相对论的光障限制相矛盾。
　　假如太阳突然消失，牛爷认为，地球立马就得脱轨，而小爱认为，地球至少得８分钟后才能有反应，８分钟以内，它还是绕着原来的轨道公转。
　　看，分歧不是一般的大。
　　爱因斯坦还发现，除了与牛顿理论闹矛盾之外，狭义相对论自身还存在一个较大的BUG，说起这个BUG的根源，还是在于它没有彻底解决引力和参考系问题。

对啊，他俩一起自由下落，加速度一样，所以彼此看对方是没有什么加速度的！
　　这就存在地位特殊的参考系了——这个参考系的物理定律与别处不同，为什么？！凭什么？！！搞什么？！！！要知道，搞特殊化，是违反宇宙规律的，不管你是参考系还是参谋长考官系主任。狭义相对论对此也没有给出解释。
　　存在特殊参考系，就破坏了自然的美感，不符合科学发展观，必须淘而汰之。科学规律应该是普适的，而不应该在这儿看是这样，在那儿看又是那样。
　　也就是说，物理定律应当与观测者的运动状态无关。
　　对于狭义相对论的局限性，爱因斯坦非常清醒，不论从美学出发，还是从科学出发，他都希望物理学彻底摆脱“特殊参考系”这个大BUG的困扰。
　　于是，刚刚建立狭义相对论的小爱，没等别人醒过神来，就率先发起了对狭义相对论的挑战。
　　俯瞰地球，大家忙着理解狭义相对论时，爱因斯坦却忙着构建广义相对论。
　　这个天才的思想远远地走在了人们前面，他的目标很清晰：给出更概括的理论，它对所有观测者都是一样的，不论运动状态如何。
　　但怎么走，才能接近这个目标？没谱。
　　知道什么是痛苦吗？眼看着，心想着，手够不着，这就是痛苦。

　痛苦的爱因斯坦紧紧攥住那个抓手：
　　引力。
　　就是引力！引力之于宇宙，胜过钱之于人，它不是万能的，但没有它是万万不能的！
　　星空灿烂。
　　爱因斯坦深邃的目光探向更深邃的宇宙，一个声音在胸中回荡：必须要考虑引力，不仅要能解释时间，还要解释引力！
　　可是，从何入手呢？没有资料可供翻阅，没有实验可供参考，没有经验可供借鉴，甚至，没有教训可供吸取……
　　思考，还是思考，只有思考！
　　思想是自由的，然而，它难以飞跃我们自身经验认识的壁垒，冲出去，就是另一番天地！但，这要思想的翅膀够硬才行！
　　一个思想实验，可以连续做几天，几个月，甚至一年、两年……伯尔尼专利局四楼八十六号办公室里，已升为二级技术员的爱因斯坦完成本职工作后，眼望窗外，外表沉静如水，内心战火纷飞，无数次冲刺，转眼又陷入重围，暗夜中的那颗星，似触手可及，又似远隔几十亿光年。
　　灵感，就像梦中情人，又像那枝头灵雀，你知道她就在那儿，你为之辗转反侧、魂牵梦萦、痴醉癫狂，却无法触及，那般滋味啊，有词联为证：
　　卜算子?枝头灵雀
　　入眼即入心，待近如何近。只恐惊飞杳渺时，举目空遗恨。
　　忽来亦忽去，将寻为底寻。尤惜巧点灵犀处，开怀更动人。
　　等等！如果我从这扇窗跳下去会怎样？在下落的过程中，如果我被一个盒子封闭起来，盒子随我一起下落，那么，我无法判断自己是否在下落，但这时，引力在哪？
　　亮了！就是它！
　　牛郎织女呢？还没落到地面？那太好了，麻烦你俩回去重新降落一次。
　　这次我们准备了一个电梯，电梯地板上放一台秤，牛郎织女就站在秤上，看了一下秤的读数，体重和两千年前一样正常。思念，就是最好的瘦身运动。然后，我们让电梯向地球作自由落体加速运动，会发生什么呢？
　　
　电梯向地球自由下落，电梯内一切呈失重状态，引力消失。
　　电梯内，一切如旧，牛郎和织女处于同一参考系，看对方以及其他物体都是静止的。
　　但有一点不同，他俩发现，随着电梯的下落，秤的读数快速归零，电梯里所有物体，包括秤的重量都消失了，现在，织女MM拔下发髻的金钗，松手，金钗飘在空中，不落向地板。这种状态和在失重的太空没什么分别，重力来自引力，重力消失意味着引力消失。当然，这是电梯参考系的看法，在电梯外的咱俩看来，引力依旧，导致他们正在随电梯飞速撞向地球。
　　Stop！
　　这个游戏很危险，请小盆友们不要模仿。
　　OK，牛郎GG织女MM，为了减少交通事故，咱不去地球了。
　　这回咱离地球远点，还是乘这个电梯，逃出地球的引力场，停下来，对，就是这儿，这里几乎是没有什么引力了。
　　“和刚才没什么分别啊！”织女MM说道。
　　“是啊，大家都在飘，没有重量。”牛郎GG一贯赞同织女MM的任何意见，但这次是心里话。

【重新认识一下质量】
　　怎么又转回去了？
　　没办法，要理解广义相对论，必须搞清楚质量是怎么回事。
　　日常生活中，对我们这些真呀真高兴的小老百姓来说，质量就是重量，去菜市场,你向同一个卖家买质量为1000克的黄瓜也好，重量为1公斤的黄瓜也罢，得付同样多的钱，没什么分别。计量质量的工具，不管是用杆秤、磅秤、弹簧秤、天平还是电子秤，都是利用地球引力来计量的。所以这种质量就叫作“引力质量”。
　　OK，既然说到了黄瓜，那咱就买根黄瓜吊起来推一下，是的，不用大力就能把它推出去，但我们感觉还是微微有些阻力；现在把装着黄瓜的卡车吊起来，推一下，好像推不动哈，阻力太大，拼命推一下，车微微晃了下。这说明两个问题：一是物体反抗我们要给它的加速度；二是物体越重，也就是惯性越大，反抗加速度的力也越大。这种反抗加速度的质量，叫作“惯性质量”。
　　那么，引力质量、惯性质量，他俩是什么关系呢？
　　人们最早发现，引力质量和惯性质量成正比。
　　后来人们发现，引力质量和惯性质量严格地成正比。
　　我们选择适当的单位，就可以使物体的引力质量的数值等于它的惯性质量的数值。
　　勤劳勇敢的人们用秤来计量引力质量，用牛顿定律来计算惯性质量，还做了N多试验，来测量同一物体的引力质量和惯性质量，然后惊奇地发现：
　　引力质量=惯性质量！
　　起初，人们认为这两种质量只是近似值，随着测量手段精度的提高，人们发现，多高精度也测不出它俩的差别。匈牙利物理学家厄特弗斯?罗兰德（Eotvos. Lorand）多年如一日地投身到引力质量和惯性质量测量事业当中，使精度达到十亿分之一，还是没差别。现在，测量精度又提高了1000倍，得出的结论是：
　　这俩质量真相等！
　　牛顿认为这只是一种有趣的简单巧合，因为用牛顿定律解释不了。
　　爱因斯坦却认为，这是创建新理论的利器，因为用牛顿定律解释不了。
　　伽利略同志早就教导我们，两个不同重量的物体，不管是皮球VS铅球，还是姚明VS姚晨，都会以相同的速度下落。重的物体受到的引力比轻的大，却等速下落，是因为物体越重，对加速度的反抗越强。即：惯性力=加速力，二者抵消了（为方便叙述，咱造个词：把产生加速度所需的力简称为“加速力”）。
　　这时我们应该明白了：这是惯性质量和引力质量相等的结果。
　　这里面其实就暗含了引力与加速度等效的思想。只是当时大家没想那么多。
　　但爱因斯坦注意到了，导出了“引力与惯性力等效”的等效原理。
　　引力与惯性力、加速度等效。加速度，是矢量速度，沿着运动方向变化。
　　而狭义相对论适用的惯性系，是匀速直线的，速度是不变的。
　　那么，在矢量变速中，狭义相对论是不是不成立了？
　　是，也不是。
　　这可不是在玩儿玄虚。

说是，那是因为狭义相对论本来就只适用于匀速直线运动。
　　说不是，就有点小复杂了。我们需要把运动细细地分解来看。那么分解到什么程度呢？分解之前，我们分析一下：
　　由于有了加速度，速度不断发生变化，所以即使是分解成再小的一段距离，它也是有变化的。那么，我们只好把它分解到“最小”，只看加速度运动区域的一个点，在这个点上，物体运动的速度和方向都只有一个，也就是所谓“匀速直线”。
　　所以，在加速运动的一个点上，狭义相对论成立！
　　在时空区域中，一个点内的引力场，可以将其等同于惯性参考系去描述，而狭义相对论在这个“局域惯性参考系”中完全成立。
　　有了这个思想，狭义相对论就成了这个新理论的一部分。这就是“强等效原理”。
　　上面说到的那个等效原理，当然只能叫“弱等效原理”了。
　　还记得狭义相对性原理吧：物理定律在所有惯性系中都相同。
　　有了等效原理，爱因斯坦把相对性原理又推进了一步：物理定律在一切参考系中都相同。
　　这就是“广义相对性原理”。那么，原来的那个相对性原理，只好叫做“狭义相对性原理”了。
　　这是一个质的飞跃，物理定律从此不受参考系的制约，无论你是直线的、匀速的，还是曲线的、加速的，都没关系，到爱因斯坦这儿，都一样。
　　物理定律要终结参考系的束缚，太牛×了！这是多么伟大的一个构想啊！
　　我们期待已久的又一次科学理论大统一，由此拉开序幕。
　　但爱因斯坦清楚，得到一个基本原理，只是拿到一只鸡蛋，想靠它办养鸡场，早着呢。
　　敢问路在何方？
　　路在脚下。
　　废话。
　　爱因斯坦放下笔，拿起小提琴，优美的旋律在琴弓的舞动下倾泻而出，自由流淌。窗外，万灵律动，宇宙和谐。

电梯还在向上加速。
　　电梯外，遥远的太阳，光芒何止万丈，射向电梯的那道光，方向与电梯运动方向垂直。
　　电梯内，牛郎织女感受着向下的“引力”，起舞弄清影，好似在人间！
　　“可是，牛郎哥，我们明明知道自己没在人间，而是在太空里啊！”七仙女看着立即就要我耕田来你织布的牛郎，有点犯迷糊。
　　“咦，墙上有个盖板，咱打开看看外面，不就心里有底了？”牛郎说开就开，可打开一看，盖板后面没窗，更没门，是一条横缝，正对着远方的太阳。
　　一道阳光迫不及待地闯了进来，在对面的墙上投射出一道光条。细心的七仙女发现，这个光条比它刚刚通过的横缝低一点点，也就是说，阳光透过横缝后，向下弯曲着投射到对面墙上！
　　听起来是奇闻，说起来是笑谈。一统光电磁帝国的麦克斯韦说过，光是走直线的，这是个久经众多牛人考验、无数常人见证的真理。在我们人类印象中，自从盘古开天辟地以前，光就始终直来直去，爱谁谁，谁见它弯过呢？
　　可就是现在，我们眼巴巴地看着它弯了。
　　不仅弯了，它还弯得那样自然、淡定、优雅，那样理直气壮、天经地义和毋庸置疑。
　　似乎它从来就不曾直过。
　　世事难料啊！
　　其实想想也不奇怪，我们知道，光是不受任何参考系速度影响的，光穿过横缝，向对面墙射去的时间里，电梯正在向上加速运动，而光却没有跟着向上作加速运动，所以它到达对面墙的落点就偏下了。
　　可是，为什么不是斜线，而是弯曲呢？
　　我们在练“独孤五式”时，解释过乒乓球和光子同是在火车上跳动，为嘛轨迹不一样的事，乒乓球向上跳逐渐减慢、向下落逐渐加快，上下用的都是加速度，所以画弧线；而上下跳动的光子，速度不变，又是在匀速直线运动的爱车上，所以它划的是斜线。
　　现在，电梯在做加速运动，而光速是不变的，所以它相对于做加速运动的电梯，划出了一条奇异的弧线。
　　这很好理解。
　　可是，一想到加速度带来的惯性力和引力等效，就得到一个奇怪的结论：引力应该也可以使光弯曲！
　　然而，根据久经考验、战无不胜的麦克斯韦方程，光线必须是直线，或者说，光不会拐弯抹角，宁“折”不弯，那么，它的“弯曲”该如何实现呢？
　　爱因斯坦说出了他的答案：是空间弯曲了。
　　光在弯曲的空间里走“直线”，实现了它的弯曲。我们用三明治来打个不太恰当的比方，把两片切得很平的面包比作空间，把一片切得很平的肉比作光，肉被夹在面包里，就是光在空间直线穿行，我们把三明治折弯，肉就随着被折弯了，而生活在面包里的细菌感觉不到三明治被弯曲了。如果使面包透明，让细菌可以在远处“看”到这片肉，它会发现肉弯曲了。当然，这个例子里的弯曲，还是三维意义上的弯曲，举这个例子，是因为我们没有四维意义上的弯和直的概念，所以只能先类比一下。
　　
　　光线弯曲
　　那么空间又怎么会弯曲呢？
　　是引力。爱因斯坦推论道，空间被引力场弯曲，顺便弯曲了光线。引力场又来自哪儿呢？源于物质。这就是说，物质的存在会影响空间几何！
　　物质存在于空间之中，同时影响空间，使空间几何发生变化。可是，在我们看来，空间就是空荡荡容纳物质的场所，它是三维的、连续的、广袤无垠的，那么，在它内部的弯曲是个什么情形、该怎么去理解呢？

　　什么叫“弯曲”？作为形容词，它的解释是：弯曲，即不直。
　　词语解释如此简洁的原因在于，这个词太平常、太简单了，以至于连简单的解释都显得多余。
　　现在，报告首长一个不幸的消息：我们得重新认识一下“弯曲”。
　　一般情况下，我们所说的弯曲，是指在三维空间里，欧几里得几何所定义的那种弯曲，按维数分：
　　一维：曲线。它是指“动点”运动时，方向连续变化所形成的轨迹。
　　二维：曲面。它是指“动线”运动时，方向连续变化所形成的轨迹。
　　有了一维的曲线、二维的曲面，我们日常生活中所谓的“弯曲物体”就比较容易定义了。
　　三维：具有长、宽、高的弯曲物体，其体积由曲线和曲面所围成。
　　说到弯曲，不能不提到圆，因为曲线可以由若干个圆弧拟合。
　　相同长度的弧，半径越短，弯曲程度越大，半径越长，弯曲程度越小，越接近直线。同理，相同面积的球面，半径越长，就越接近平面。这就是为什么地球明明是个大球，我们可爱的祖先却以为它是一块驮在巨龟背上的平板。
　　不管怎么样，这种弯曲是可以用一些简单的数值来表示的，比如半径啊、弧度啊、弯度啊什么的，通俗易懂。
　　这是以前我们对“弯曲”的认识。人类的几何老师欧老爷子定义的这种弯曲，充满了生活气息，是显而易见、易于理解的。
　　那么，空间弯曲又如何理解呢？OK，现在我们来复习一下，怎么理解“弯曲”。
　　阿细身处一维，他的概念里只有长，没有宽和高，于是意识不到曲线救国是个嘛意思，由于他只能“看见”一个点，无法通过观测数据来计算出弯曲的结论。所以他至少要站在二维空间的角度去“看”，才能理解“弯曲”。
　　阿扁身处二维，他的概念里只有长和宽，没有高，所以二维的平面一时想不开，变成了曲面，这对阿扁是个考验。最直观的方法，就是像我们一样，处在三维空间去观察曲面，但是，二维生物到三维空间去观测，可没那么容易。不过好在，阿扁所处的世界，有机会建立平面几何，他知道圆周率！这很重要，他可以通过对半径和圆周的精确测量和计算，推测出自己所处的空间不是一个平面！我们当然也可以通过测量和计算的方法，推测所处的三维空间是否弯曲。这个我们以后再说。
　　那么，三维空间的我们，怎样理解三维空间的弯曲呢？
　　这的确是个问题。
　　狭义相对论让我们认识了四维时空，虽然难以理解，但这个四维时空好歹是平直的，就像我们“看到”的那样。现在，我们不得不承认自己眼拙了，坦荡的空间欺骗了我们，它是弯曲的！比起三维空间，四维时空虽然只多出一维，但它的这种“弯曲”理解起来就困难多了，因为人类只能感知三维，对所谓四维，我们的感官集体失灵，看不见摸不着，超出了我们的生理能力和经验直觉，只能靠想象去理解。
　　但是，想象毕竟是只是想象。正如穷孩子和富孩子都难以想象对方的生活一样，咱想象这个空虚的、无边无际的空间在其内部产生弯曲，也不是一件容易的事。
　　所以我们只好接着类比：
　　一维弯曲，如果不跳出一维去观察，阿细永远也无法理解他所在的一维是“弯曲”的，因为他的概念只有前后，没有上下左右。
　　二维弯成曲面，身困二维、只有前后左右概念的阿扁，也无法想象上下弯曲是什么，即使弯了他也感觉不出来。
　　以此类推，三维空间实现了弯曲，身在其中的我们，也不容易明白那个弯曲是指什么，更不易察觉空间已然弯曲了。这很正常。
　　看来，还是要跨维度类比想象，这样理解起来容易些。
　　所以，比较大众的类比法是，把我们现在的三维空间想象成一张有弹性的膜，这张膜上最好画上经纬线，以便我们识别它的弯曲变化，把物体比如一个球放在这个平面上，重力会使球把膜压出一个凹陷，我们用这个凹陷来类比空间的弯曲。嗯，这就是用二维的弯曲来类比三维的弯曲，从三维的角度看二维的弯曲，非常容易，也很好理解。
　　如果我们想把这个类比搞得更恰当些，可以把膜想象成完全透明的，无数张这样的膜摞起来成为一块整体，球在其中使之整体弯曲。这样一来，我们应该有个大致的印象了。
　　当然，每个人脑子中的印象不一样，目前，楼主印象中，空间的内部弯曲，大概就像木材里的节，或者水体里面的一个旋流，只不过它弯曲的方向，实在是难以想象，是我们熟悉的长宽高吗？

　　空间弯曲，此图仅为方便理解，但不能把引力扭曲空间的情况和此图划等。
　　我们知道，欧几里得先是开发了处理二维的“平面几何”，接着又在此基础上，搞定了研究三维物体的“立体几何”，更高维度，欧老爷子没来得及考虑。
　　2000年后，欧老爷子的N代徒孙们把欧式几何扩展到可以应用于任何有限的维度（这种空间叫n维欧几里得空间）。于是，2000多年前的欧老爷子，又在多维空间一展雄风、君临天下。
　　不过，再强的高手也有命门，欧老爷子的空间不管是几维，都离不开一个根本性质：它是“平”的！欧式几何的小名就叫“平面几何”嘛。
　　现在，时空不仅多出一维，而且不老实，它要弯曲。这一弯曲就不好办了。欧老爷子表示，老夫可管不了那么许多。
　　没有一个合适的手段把它描述出来，再好的思想，也只是个传说，形不成学说。这怎么办？！

前面说到过，小爱发现了等效原理、提出了广义相对性原理，并且据此推出时空弯曲等一些听起来是奇谭、但又相当有前途的结论，可以用来解决物理学衣裤不搭的尴尬。但新的烦恼出现了：用什么手段来描述这一光辉思想？
　　当然是数学手段。
　　但是，数学大餐比满汉全席丰盛多了，哪盘才是我的菜呢？小爱很纠结。
　　其实这很正常，数学发展到这个年代，已经没有谁能掌握全部数学手段了，都是各专一门，才华横溢的，会专多门，但不可能全通。何况，小爱学数学那会儿，正在热恋。所以，对小爱来说，自己擅长的一门数学，恰好可以解决这个问题的概率，就等于1除以所有数学分支。
　　不过，解决时空问题，首当其冲的，是几何学，因为它就是研究空间结构及性质的一门学科。
　　所以，小爱饥渴的眼神，首先就得瞄向几何学。我们就顺着小爱的目光，用同样饥渴的眼神，借机在几何女神的身上一掠而过，一饱眼福吧。
　　1.欧氏几何
　　始自公元前300年前。由希腊亚历山大里亚学派的创始者、伟大数学家欧几里得创建，他集前人几何研究之大成，编写了数学巨著《几何原本》（以后简称《原本》）。这个在上部开篇说过，现在就当复习吧。
　　《原本》先摆出基本、简单、显而易见的公理、公设、定义，作为已知条件，先证明第一个命题，然后以此为基础，再证明第二个命题，以此类推，环环相扣，证明了465个命题，砌成一座巍峨的几何大厦。现在我们来瞻仰一下著名的五条公理、五条公设：
　　五条公理（适用于所有科学）：
　　1．等于同量的量彼此相等。
　　2．等量加等量，其和相等。
　　3．等量减等量，其差相等。
　　4．彼此能重合的物体是全等的。
　　5．整体大于部分。
　　五条公设（适用于几何学）：
　　1．过两点能作且只能作一直线。
　　2．线段可以无限地延长。
　　3．以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。
　　4．凡是直角都相等。
　　5．同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
　　冷眼一看，是不是简单得像废话一样？金碧辉煌的平面几何大厦，居然就是由上述这些简单至极的材料砌成的。古往今来的数学家一致认为，《原本》论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，命题之精辟，影响之深远，令人叹为观止。
　　欧老爷子用公理进行逻辑演绎，建立科学体系的方法，成为后人建立科学理论的强大武器，牛顿的《原理》、爱因斯坦的相对论等，莫不如是。
　　《原本》在数学发展史上、乃至人类科学史上树立了一座不朽的丰碑。欧氏几何两千多年来一统天下，至今其地位也没有被动摇。咱俩上初中时学的几何，就是欧几里得几何。
　　2.微分几何
　　始自1736年。它的产生和数学分析密切相关，是在数学、物理学、天文学、工程学等日益增长的迫切需要中逐步建立的，实是形势所急、形势所需，是N多人共同努力的结果。
　　1736年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）把曲线的弧长作为曲线上点的坐标，开始了曲线的内在几何的研究。这是为微分几何奠基的第一锹土。
　　1807年，法国数学家蒙日（G.Monge）发表了《分析在几何学上的应用》，提出把微积分应用到曲线和曲面的研究中去。宣告了微分几何的创立。
　　1827年，天才的高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）发表了《关于曲面的一般研究》，建立了曲面的内在几何学，阐明了在曲面上，长度、面积、夹角、测地线、曲率等概念的基本性质。
　　1872年，德国数学家克莱因（F.Klein）发表了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类，它成了几何学的指导原理。
　　微分几何学是以微积分学为主要武器，主攻三维欧氏空间的曲线、曲面等图形性质。在曲面上，有两条重要概念，一个是距离，一个是角。比如，连接两个点的路径是无数的，但最短的路径只有一条，对曲面来说，这条最短的路径叫“测地线”。微分几何深入研究了测地线、曲率等重要内容。
　　微分几何学的研究对数学、力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的

说个题外话，看着觉得过得去，就发表下你的看法吧，顶顶贴，让更多有共同爱好看到，走进帖子，走近我们生活中真的很难找到物理同好，跟谁聊宇宙，都显得很神经，是吧？

　　3.罗氏几何
　　始自1826年。由俄罗斯数学家尼古拉斯?伊万诺维奇?罗巴切夫斯基（N.l.Lobachevsky）建立。罗氏几何也称非欧几何，它的建立得益于一个著名的失败。
　　这还得从《原本》的公理、公设说起，故事开始之前，我们再回头看看欧老爷子的第五条公设，这条公设可以导出这个命题：“通过直线外的一点，仅可作一条直线与已知直线不相交（平行）”，所以第五公设也叫平行公设，有木有感觉它与其他公理、公设不太一样？
　　有木有？！有的。
　　好的，那恭喜你，两千年来的数学家们一致同意你的意见，他们对五条公理和前四条公设都十分喜爱，唯独看第五公设不顺眼，因为无论从长度还是从内容上看，左看右看前看后看怎么看它都不像一个公设，倒像是一个可以由其他公设推导出来的定理。
　　其实，当初欧老爷子对此也是与你所见略同，但他没能找到第五公设的证明，所以只好把它放在公设里。于是引发了几何史上最著名的“平行线理论”的讨论，这一讨论就是两千多年。
　　它看起来无比简单、无比正确，却无法证明？！
　　无数数学家前赴后继，试图证明它，但均遭失败，所有的证明都陷入循环论证的泥潭，无法逃脱。败下阵来的数学家似乎听见了它的嘲笑：连欧老爷子都没搞定我，就凭你？哼哼！！
　　为你心动，却致心焦，痛到心碎，终于心死……苦苦的追求，换来的往往不是硕果满树、鲜花一路，而是块垒满腔、清泪两行。
　　罗巴切夫斯基也未能免俗，他顺理成章地失败了。但不同的是，他发现此路不通，便挥刀开辟了另一条路。
　　他作出假定：过直线外一点，不只有一条直线与已知直线不相交（平行）。
　　如果证明这条假定是不可能的，那就反证了平行公设是对的。
　　意外的是，他不仅没能否定这个命题，而且用这条假定代替第五公设，与欧老爷子的五条公理和其他四条公设一起，展开推论，得到了一个逻辑合理的、全新的几何体系！
　　尽管这个体系逻辑严谨，毫无谬误，但由于它得出的命题看起来很古怪，非常不合乎常理，在现实中找不到它所表示的原型和类比物，所以罗巴切夫斯基把它叫做“想象几何”。这门新几何本身，就是对“第五公设不可证性”的逻辑证明。
　　罗氏几何和欧氏几何的关系很奇妙：凡与平行公理无关的命题，在欧氏几何中正确，则在罗式几何也正确；凡与平行公理有关的命题，在欧氏几何中成立，在罗式几何中都不成立。例证对照表：
　　
　　如上可见，罗氏几何的命题与我们的直观常识相矛盾，不象欧氏几何那样容易接受。因此，同所有新鲜事物一样，罗氏几何一出现，大家就很不以为然，立即遭到人们的冷落、反对甚至攻击。
　　1868年，意大利数学家贝特拉米证明，罗氏几何可以在欧氏几何空间的曲面上实现。也就是说，罗氏命题可以转换为欧氏命题。
　　这样一来，你说欧几里得几何没有矛盾，那就是说罗氏几何也没有矛盾。呵呵，开挂了。
　　罗氏几何研究了当平面变成双曲面（鞍马型）之后，平面几何倒底还有多少可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。
　　直到这时，被弃蒙尘的罗氏几何才重见天日，得到数学界的普遍注意和深入研究。人们对罗巴切夫斯基的态度也来了个一百八十度大转弯。罗氏从倍受诟病到盛誉加身，被称为“几何学中的哥白尼”。
　　斯时，已经去世12年的罗巴切夫斯基终于可以含笑九泉了。
　　罗氏几何对数学的发展起了巨大的作用，这些赞誉，他当之无愧。

　　张量
　　当里个当，当里个当，
　　闲言碎语不要讲，
　　表一表，专业术语叫张量。
　　这术语，名字很有人情味，
　　大众化的姓氏弓长张。
　　大街上，你喊一声小老张，
　　一半人回头把你望，
　　不是老张就是小张。
　　另外一半不姓张，
　　那是老张的同学、死党和街坊，
　　还有小张的表兄、媳妇和丈母娘！
　　所以，同属大众的咱俩，要是不认识大众化的老张，不搞定它，让它继续高高在上供咱俩瞻仰，我心何甘？你心何甘？！
　　按照国内惯例，为了方便接近老张，我们先从老张的亲友团入手。
　　分量：总量的一部分，分量与总量的关系，相当于省与国的关系。分量、总量也是相对的，别看省是国的分量，但在县面前，省就是总量；在世界面前，国又成了分量。这个很好理解，是吧？
　　标量：别号“无向量”，好像和我佛有点关系。简而言之就是只具有数值大小，而没有方向的量，我们这样记：可以用某种“标尺”测量的量，比如质量、密度、温度、功、功率、动能、势能、引力势能、电势能、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等。
　　矢量：别号“向量”。我们这样记：矢量这个名取得很形象，矢，就是箭，一箭射出去，它有方向，它的力度、速度、路线都是沿方向渐变的，这种既有大小又有方向的量，就叫做矢量。电脑里的矢量图可以无限放大永不出现马赛克，因为它的颜色是矢量定义的，而不是色素点拼合的。相关的分量按照大小个儿排成一排，形成一个一维的数据表格，也就是一行有序的数组，叫矢量。比如力、力矩、线速度、角速度、位移、加速度、动量、冲量、角动量等。哇，好像矢量比标量复杂很多耶，俺看一个数字都晕，这个矢量要N多数字站一排的！
　　矩阵：即Matrix，本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。记得《黑客帝国》吧，那里的矩阵，就是一个连接无数人意识，模拟人类世界，类似角色扮演网络游戏的控制系统。矢量是矩阵的一个分量，若干行矢量排列成二维的数据表格，这个纵横排列的有序数组，就叫矩阵。晕！这个矩阵更复杂，居然是N多矢量排成的方队！
　　主角张量呢？我们可以说，它是矢量分析的推广。上面说过，一排数据组成的一维表格叫矢量，多排数据组成的二维表格叫矩阵，三维以上的数据表格就是张量了。天呐，这回真倒了，这个张量居然是N多矩阵的无敌组合！这么多数字像砖一样砌在一起，对俺这样的文盲而言，别说运算了，看一眼都得吐血而亡！
　　那么，张量搞这么复杂，能干嘛呢？
　　我们举个例子：坐标变换。
　　坐标变换是咋回事呢，咱们在前面提到过，就不罗嗦了。
　　那么，坐标之间变换，需要某种“有规律的关联”才行，总不能根据领导的梦话，随便捏造些数字乱搞，搞科普不可以像搞政绩那样不严肃，是吧？坐标这东西可不是顺民，你骗它一分，它能骗你一亿，你当它大头，它一定让你头大！
　　那么，这种“有规律的关联”到底是嘛呢？
　　是函数关系。
　　如果是简单的匀速直线运动，我们搞清楚它的位置啊、时间啊、距离啊、相对速度啊等一些标量，函数关系也不是那么太难搞定。
　　但是，在自然界中，标准的匀速直线运动，就像老卡老金之流治下的民主自由，那只是老光棍梦里的俏老婆，用来意淫解馋的，真正的滋味只有权贵尝过。他们不在自然界。很不自然。
　　自然界的运功，实际情况要复杂得多，有时会超出我们的想象，还记得难倒无数大牛的三体问题不？三体而已啊，就已经是人类世界的难题了，浩瀚的宇宙又何止三体！
　　那么，这样的函数关系又该怎么确定呢？
　　还是有办法的。我们可以把纷繁复杂的因素分解来看，分成一块一块的，各个击破。用某种方法，比如微积分，给每一块配一个御用因子，专门负责描述它。这个因子不是一个数，而是一个有序的数组。我们将各块的规律因子放在一起，就得到了若干数组（我们可以形象地叫它“表格”）。
　　把这些数组综合起来，运算分析，就是张量的工作。
　　哦，原来张量就是子公司的会计师，他负责综合分析下属公司的数据，供母公司使用。母公司可以是一个或一组方程式。
　　张量根据表格（数据组）的维数分“阶”，就好比我们用条条杠杠给小盆友划分等级：N维表格就叫N阶张量。
　　所以呢，我们也可以这样看：
　　普通队员（标量），没杠，是0阶张量；
　　小队长（矢量，一维表格），一道杠，就是1阶张量；
　　中队长（矩阵，二维表格），二道杠，就是2阶张量；
　　大队长（三维表格），三道杠，就是3阶张量；
　　区总队长（四维表格），四道杠，就是4阶张量；
　　市总队长（五维表格），传说中的五道杠，就是5阶张量……
　　与条条杠杠不同的是，张量是名符其实，它的确可以表达、分析对应维数的数据组。
　　概而言之，张量这家伙，就是一种高维的数学量，是一种数学分析方法。它可以解决曲线坐标系中的微分运算等变态难题。它像微积分一样，是一种强大的数学武器，用来对付复杂多变的、有一定规律的量的计算。
　　它的功能有多强大呢？我们先来看看，它在强大的黎曼几何发展中的地位。
　　黎曼几何是通过微分几何建立起来的，在公理系统里引进了“弯曲几何空间”。
　　黎曼在构想这个新几何大厦时，就千方百计要建立一个相应的代数结构，用来描述它。可惜的是，天才的黎曼没有时间来实现这一目标，他40岁时就因肺结核去世了。
　　虽然如此，黎曼提出的N维流形的概念，以及弯曲空间中二次微分形式的变换问题，成为通向张量分析的起点。后来，经过贝尔特拉米、克里斯托夫、里奇等数学家的发展，终于打造了这一神奇的武器。
　　强大的张量分析力挺强大的黎曼几何，前者成为后者的核心内容。比如黎曼空间中的曲率是一个张量，黎曼空间的度量以“度量张量”表达等等。
　　张量分析和黎曼几何就像计算机软件和硬件一样，相互促进，交织发展，几何学与代数学更紧密地联系起来，极大地促进了现代数学的进步。