3.伽马(Gamma)函数与贝塔(Beta)函数计算及其应用

伽马函数计算(仅提供正整数时的计算)
使用数学归纳法和分部积分证明该积分

关于Γ函数的一些内容在下面链接中
http://tieba.baidu.com/p/3593818191?share=9105&fr=share
接下来将给出余元公式的证明

下面将要使用一个傅立叶级数展开式来证明余元公式。使用傅立叶级数可以简单证明，在此略去。

如图所示，先证明最后一行的公式，之后会用到

下面还需利用Γ(x)的极限展开式。

利用36L的公式及35L的展开式可以完成证明

现在，可以用两种方法完成Γ(1/2)的求值。第一种是用Γ函数表达式来解，利用了Poisson积分。第二种应用了余元公式。
我们指出Γ(1/4)，Γ(3/4)等等的值不可以用π，e等常见的无理数来表达。所以我们不去计算，需要使用是直接写成Γ(1/4)就行了。

通过泊松积分，可以求出一些不怎么常见的重积分

现在介绍拉比积分

利用类似于欧拉积分的方法，使用了余元公式与欧拉积分的结论。

给出Beta函数关于Γ函数的一个公式，之后要用到。证明这个公式需要使用Γ函数的三条性质，这里不做阐述。

对于sin与cos相乘的任意大于0次幂的在[0，π/2]定积分，都可以通过Beta函数来搞定，然后使用楼上公式换成Γ函数。对于区间不是[0，π/2]的可以通过几何意义倍增。

一道例题，其中0至π区间被该为2倍0至π/2的积分，套用公式。还用到了Γ函数递推性质：Γ(x+1)=xΓ(x).