第1、2题

楼主的解答：

然后这道题就能那么做：

还是写楼下吧，要不评论字数老有限制。。。
上面第五题第一问，类似于7题，如果A在全空间V上可对角化，那么A在V的任意A-子空间也都应该可对角化，显然＜a，b＞是A的一个不变子空间，写出A在该子空间的基a，b下的矩阵，可以证明该矩阵不可对角化。
第二问我再想想。。。

@xiAoFeng1352

刚刚找到了这个题比较严谨的证明：（来自于博士数学论坛：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=30275&mobile=yes
——morrismodel）

终于有流量了
趴床上写的，字比较乱。。。@羊羊920816

是不是和你思路一样…证到一半卡壳了，然后猜想了一个结论在知道上问了，还确实有这么一个结论@xiAoFeng1352
首先证明任意实对称矩阵A的对角元均介于A的最小与最大特征值之间（这个就是我猜的结论）：
对于实对称矩阵A，设λ1是最大特征值，λn是最小特征值
根据Rayleigh商的定理，任意单位向量x，有：λ1>=x'Ax>=λn
其中 x' 是x的转置
取 x = ei，也就是向量的第 i 个元素是1，其它都是0的向量。
则 ei' A ei = a_ii，即对角元 a_ii
所以，λ1>= a_ii >=λn
然后来证明题目：
因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得P'AP=diag｛λ1，λ2，…，λn｝（其中λi是A的特征值）
设P'BP=C，且C的第i行第j列元素为cij
则（P'AP）（P'BP）=P'ABP=diag｛λ1，λ2，…,λn｝C
所以tr（AB）=λ1c11+λ2c22+…+λncnn
显然C也是实对称矩阵，不妨设c=min｛c11，…，cnn｝，则c>=λ
由于A半正定，所以λi>=0
所以tr（AB）=λ1c11+…+λncnn>=λ1c+…+λnc=（λ1+…+λn）c>=（λ1+…+λn）λ=λtr（A）
（【补充：Rayleigh商定理及其证明】：
Rayleigh商定理：
实对称矩阵A，λ1是最大特征值，λn是最小特征值。
对于任何非零向量 x
λ1 >= (x'Ax) / (x'x) >= λn
证明：A可对角化，
A的特征值从大到小依次为：λ1、λ2、...、λn
它们对应的特征向量（单位正交）分别是：{x1、x2、...、xn}
则对于任意向量 x，有：x = a1x1 + a2x2 + ... + anxn
Ax = A(a1x1 + a2x2 + ... + anxn) = a1Ax1 + a2Ax2 + ... + anAxn
=a1λ1x1 + a2λ2x2 + ... + anλnxn
所以：
x'Ax = (a1x1 + a2x2 + ... + anxn)' (a1λ1x1 + a2λ2x2 + ... + anλnxn)
= λ1(a1^2) + λ2(a2^2) + ... + λn(an^2)
所以：
x'Ax <= λ1(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) = λ1 (x'x)
x'Ax >= λn(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) = λn (x'x)
（来源：百度知道；答题者：xtimz））

Jk（1）的逆矩阵可以通过初等变换法求出，Jk（1）的转置就更简单了。显然它们减去λI（=I）得到的矩阵是幂零矩阵且幂零指数相等，所以它们当然有相同的最小多项式，那么J^（-1）、J'就有完全相同的初等因子所以它们必然有相同的Jordan标准型从而相似@xiAoFeng1352

@xiAoFeng1352 我C之前说反了…

熄灯了躺床上，只能用手机记事本打草稿…
设a=（a1，…，an）^T
令b=（b1，…，bn）^T
其中令1-2b1^2=a1，则b1=√（（1-a1）/2），令-2bib1=ai，则bi=-ai/（2b1）=-ai/（2√（1-a1）/2））（i=2，…，n）
则b^Tb=（1-a1）/2+a2^2/（2（1-a1））=（1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2）/（2（1-a1））=（1-2a1+1）/（2-2a1）=1
所以b为单位列向量
则令A=E-bb^T，由上可知A的第一列即为a，并且A正交且对称@xiAoFeng1352

不要荒废这个帖子。。。慢慢添题
设G是有限群，p(x)=x^3,x属于G，是G的一个自同态映射，证明若3不整除G的阶数，则G为交换群。