证明1：欧拉的证明
欧拉的证明是十分聪明的。他只是将幂级数同有限的多项式联系到了一起，就得到了答案。首先注意到

从而

但是sin(x)/x的根集为
故我们可以假定

（PS：欧拉似乎没有证明这个无穷积，直到100年后魏尔斯特拉斯得到了他著名的“魏尔斯特拉斯分解定理”（Weierstrass factorization theorem，详情可见wiki相应条目）。利用这个方法得到函数时要特别小心，我以前看到的一个反例（http://tieba.baidu.com/p/1083636713）就可以说明这个问题)
从而我们对这个无穷乘积的x^2项进行研究，可以知道

所以
就有了答案

证明3：数学分析的证明
这个证明来自Apostol在1983年的“Mathematical Intelligencer”,只需要简单的高数知识。
注意到恒等式

利用单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem)，立即得到

通过换元(u,v)=((x+y)/2,(y-x)/2)，就有

S为点(0,0),(1/2,-1/2),(1,0),(1/2,1/2)构成的正方形，由正方形对称性有

利用恒等式arctan(u/sqrt(1-u^2))=arcsinu,arctan((1-u)/sqrt(1-u^2))=pi/4-(1/2)arcsinu得到

证明4:数学分析的证明
(Calabi, Beukers & Kock.)同样利用上一问的结论,不过这次我们计算的是：

做代换

从而有

雅可比行列式即为

从而
其中也就是等式成立！

证明5:复分析的证明
这个证明在很多复分析书上都有。我们同样可以利用留数计算该结果,考虑,积分路径P[n]为在中心为原点的长形如图

实轴交点为±(n+1/2),复轴交点为±n,若z=x+iy,就有

，从而很容易就能知道|cot(πz)|<2对每根积分曲线成立,于此同时，|z|>=n成立，就有

成立，在n区域无穷大，该函数趋于0

而每一点的留数，计算有就可以得到

证明6:复数积分的证明
本证明由Dennis C.Russell给出。考虑积分

利用cos的欧拉公式，也就是
就有
积分得知

再利用ln(1+x)的泰勒展开
从而积分就有

但e^(i*pi)=-1,变为

故如前面式子有
由于左边是实数，右边是纯虚数，从而只能两边都为0，即

这还给了我们一个副产品，就是

证明7:泰勒公式证明
(Boo Rim Choe 在1987 American Mathematical Monthly上发表)
利用反三角函数arcsinx的泰勒展开,

对于|x|<=1成立，令x=sint有
(1)
对|t|<=pi/2成立，但是由于积分

所以在(1)两边积分就有

证毕

证明8:复分析证明
PS：个人这个证明感觉相当漂亮，基本没怎么算
(T. Marshall 在American Math Monthly,2010)对于
令
这个和是对于每一个log的分支加起来，在D中的所有点，存在领域使得它的每一个分支都解析，由于这个级数在z=-1以外一致收敛，所以R(z)在D上解析
从而这里有几个Claim:
1.z->0则级数每一项都趋于0，从而0是可取奇点
2.R的唯一奇点是在1的二阶奇点，是由于logz的主分支造成的，有

3.R(1/z)=R(z)
由于 1.和 3.有 R在扩充复平面上为亚纯函数，从而为有理函数，由2知道R(z)分母为(z-1)^2,由于R(0)=R(∞)=0,所以分子就是az,那么2说明a=1,就是说

现在令得到

也就是说，代入w=1/2

证明9:傅立叶分析证明
教科书上最普遍的证明
考虑函数将其傅立叶展开,计算得知

显而易见，代入f(0)得到答案

证明10:傅立叶分析证明
考虑函数,将其傅立叶展开

利用Parseval等式

其中a[n]为e^(i*pi*n)系数，有
那么就知道

证明11:傅立叶分析证明
考虑
在实轴上一致收敛，对于在,我们有

这个和被控制，从而在[ε,2π-ε]一致有界，Dirichlet判别知道
一致收敛
所以对于同样区域的函数

就得到

证明12:泊松公式证明
(Richard Troll)由泊松求和公式其中
为傅立叶变换。
若我们设，f的傅立叶变换为
也就是说

则
就是

证明13:概率论证明
(Luigi Pace 发表于2011 American Math Monthly)
设X[1],X[2]是独立同半区域柯西分布，也就是它们的分布函数都是

令随机变量Y=X[1]/X[2],,那么Y的概率密度函数p[Y],定义在y>0有

由于X[1],X[2]独立同分布，即P(Y>1)=P(X[1]>X[2])=1/2,即

也就是说

证明14:积分+函数方程证明
(H Haruki,S Haruki在1983年 American Mathematical Monthly发表)
由于

只需要算出这个积分值即可，我们令

要求的是a=0的情况
不过我们可以证明
利用等式
我们知道

中间是令t=x^2代换掉的。解函数方程
(1)
,求导两次知f''(a/2)+f''(pi-a/2)=f(a)/2
由于f''在闭区间[0,2pi]上面连续，所以必然有最大值M，最小值m，那么有设f''(a[0])=M,则

由于M是最大值，只能f''(a[0]/2)=M,f''(pi-a[0]/2)=M,一直迭代下去，我们有
lim[n->infty] f''(a[o]/2^n)=M,即f''(0)=M,同理有f''(0)=m,即M=m成立，那么f''为常值函数，f为二次函数。再计算二次函数系数
代入式子(1)，以及计算f'(pi/2)，我们知道
，代入a=0,即

证明15:三角恒等式的初等证明
(Josef Hofbauer发表于2002年American Mathematical Monthly)

从而就有

又由于对x在(0,pi/2)成立
令,对对不等式求和，就变为

令n趋于无穷得到答案