证明16:三角多项式的证明
(Kortram发表于1996年 Mathematics Magazine)
对于奇数n=2m+1,我们知道,其中F[n]是n次多项式，那么F[n]零点为sin(j*pi/n)(-m<=j<=m),而且lim(y->0) F[n](y)/y=n
即
从而
比较两边泰勒展开的x^3系数，有

于是

固定整数M令m>M，则有

利用sinx>2x/pi在x属于(0,pi/2)成立

令n趋于无穷

在令M趋于无穷

证明17:积分证明
(Matsuoka发表于1961年American Mathematical Montly
考虑积分

我们有Wallis公式：

那么对于n>0，分部积分有

从而有

得到

将这个式子从1加到n，就有

由于J[0]=pi^3/24,只需要证明后面一下为0即可，通用x<pi/2*sinx在[0,pi/2]成立，即

就是说

证明18:Fejér核的证明
(Stark在1969年American Mathematical Monthly上的证明)
对于Fejér核有如下等式

故而有

如果我们令n=2N(n为偶数)，那么

利用sin(x/2)>x/pi对(0,pi)成立

也即

证明19:Gregory定理证明
证明来自Borwein & Borwein的著作"Pi and the AGM"
以下公式是著名的Gregory定理：

我们令

我们需要证明即可
若n不等于m，就有
那么

其中

很容易可见c[-n,N]=-c[n,N],从而c[0,N]=0,对于n>0那么

可知c[n,N]<=1/(N-n+1),故而

即成立！

证明21:类似的初等证明
首先我们要证明这个等式

是由于注意到

就立即可得

令x=cot^2θ,变为

有根对j=1,2...n成立，即韦达定理得到答案
在由于1/θ>cotθ>1/θ-θ/3>0对0<θ<pi/2成立，即

对于解θ[k]做和，就有

从而有

就是我们想要的

证明22:伯努利数的证明
函数为伯努力数B[k]的生成函数，B为亚纯，在1/(2pi*i*n)上为极点，利用Mittag-Leffler定理可以展开为

后者可展开为几何级数

是由于在重排级数的同时，奇数项消去了而偶数项留下了，所以我们就得到如下式子：

也就是要求计算

那么

大神

欧拉有关于sinx的无穷乘积式的严格证明，用的是代数方法，关于e^ix的无穷乘积式。

代的是pi吧

考古