16.设ω是R^3-{0}中的c'类1-形式且dω=0.证明ω在R^3-{0}中恰当.

17.设E是R^3中的开3-方格,棱与坐标轴平行.设(a,b,c)属于E,fi属于c'(E),令ω=f1dy∧dz+f2dz∧dx+f3dx∧dy.假定在E中dω=0.定义λ=g1dx+g2dy.这里当(x,y,z)属于E时,g1(x,y,z)=∫(c,z)f2(x,y,s)ds-∫(b,y)f3(x,t,c)dt.g2(x,y,z)=-∫(c,z)f1(x,y,s)ds.
证明在E中dλ=ω.

18.固定b>a>0,对a<=r<=b,0<=θ<=2π定义Φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ).令ω=x^3dy,计算∫_Φ dω及∫_∂Φ ω来验证stokes公式成立.

19.证明存在函数α,它有定理10.38证明中用到的性质,并证明所得的函数F是c'类的.(即补全定理10.38的证明).

20.令E属于R^3是开集,假定g属于c''(E),h属于c''(E),并考虑向量场F=g▽h.
(1)证明▽·F=g▽^2h+(▽g)·(▽h).这里▽^2是h的Laplace算子.
(2)如果Ω是E的闭子集且有正向边界∂Ω,证明∫_Ω[g▽^2h+(▽g)·(▽h)]dV=∫_∂Ω g∂h/∂n dA.
(3)假定h在E中是调和的,即▽^2h=0.那么∫_∂Ω ∂h/∂n dA=0.若在∂Ω上h=0,则在Ω上h=0.
(4)证明2中的Green恒等式以及它的等价命题∫_Ω[g▽^2h-h▽^2g]dV=∫_∂Ω (g∂h/∂n-h∂g
/∂n)dA 对R^2也成立.

第十一章
1.若f>=0且∫_Efdμ=0,证明在E上f(x)几乎处处为0.

2.如果对于可测集E的每个可测子集A,∫_Afdμ=0,那么在E上f(x)几乎处处为0.

3.若{fn}是一列可测函数,求证{fn(x)}的收敛点集可测.

4.若在E上f属于L(μ),g在E上有界可测,证明在E上fg属于L(μ).

5.(Fatou定理不等号成立的例子)设g(x)=0{0<=x<=1/2},g(x)=1{1/2<x<=1},f_(2k)(x)=g(x),
f_(2k+1)(x)=g(1-x).证明liminf(n->+inf)fn(x)=0,但是∫(0,1)fn(x)dx=1/2.

7.设在[a,b]上f属于L,F(x)=∫(a,x)fdt{a<=x<=b}.证明F连续.

8.若μ(X)<+inf,在X上f属于L^2(μ),证明在X上f属于L(μ).举例说明若μ(X)=+inf时此事可能不成立.

9.在X上f,g属于L(μ),定义f与g间的距离为∫_X|f-g|dμ,求证L(μ)是完备度量空间.

10.假定:(a)当0<=x<=1,0<=y<=1时,|f(x,y)|<=1.
(b)当x固定时,f(x,y)是y的连续函数.
(c)当y固定时,f(x,y)是x的连续函数.
设g(x)=∫(0,1)f(x,y)dy,问g(x)是否连续?