函数问题汇总帖

1、设函数fx=ax-x/lnx.fx的倒函数为f'x,若函数fx在（1，正无穷）上单调递增，求实数a的最小值。
解：f'(x)=a-(lnx-1)/(lnx)²≥0
所以a≥(lnx-1)/(lnx)²
令t=1/lnx，则a≥-t²+t
因为x>0，所以t>0
所以当t=1/2时，-t²+t取得最大值1/4.
故a≥1/4，a的最小值为1/4.

2、f(x)=a(x²-1)-lnx.
（1）若y=f（x）在x=2处取得最小值，求实数a的
（2）若f（x）大于等于0在[1，正无穷）上恒成立，求实数a的取值范围
解：(x)=a(x²-1)-lnx.f'(x)=2ax-1/x=(2ax²-1)/x
（1）f'(2)=4a-1/2=0，所以a=1/8.
（2）a≥1/2时，f'(x)≥0，f(x)单调递增，故只需f(1)≥0，解得a≥1/2.
0<a<1/2时，令f'(x)=0得x=1/√(2a).
当x∈(1,1/√(2a))时，f(x)单调递减，当x∈(1/√(2a),+∞)时，f(x)单调递增.
由f(1)=0知，f(x)min=f(1/√(2a))<0，故0<a<1/2时不满足题意；
当x∈(-∞,0]时，f'(x)<0，f(x)单调递减，f(x)≤f(1)=0，不满足题意.
综上a≥1/2.

2013湖北高一、高二预赛解答题第一题

（1）的情况解麻烦了.
http://zhidao.baidu.com/question/549608182?&oldq=1

4、定义在R上的偶函数f(x)满足f(+1)=f(x)，且在【-3，-2】上是减函数，ab是锐角三角形的两个内角，则（）
A、f(sinA)>f(cosB) B、f(sinA)<f(cosB)
C、f(sinA)>f(sinB) D、f(cosA)>f(cosB)
解：因为f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x).函数f(x)的周期为2.
因为f(x)在[-3,-2]上单调递减，所以(x)在[-1,0]上单调递减.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)在[0,1]上的单调递增.
因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π/2，所以A>π/2-B.
所以sinA>sin(π/2-B)=cosB.
选A.