垂直，数学上，尤其是解析上，不叫90度角，而叫正交。
正交这个概念比垂直要大。
正交是什么意思呢？
一条线在另一条线上的投影为0；再进一步的抽象，一个事物在另一个事物上的投影为零；在进一步抽象，一个事物和另一个事物的相关性为0，即彼此无关；再进一步抽象，一个事物发生的时候，另一个事物不发生，反之亦然。

这条路挺长，写出来很短，如果要去体悟，真的需要很多年的时间才能完成。
视觉上的垂直，即逻辑上的无关性，也就是时序上的非同时性。
当我们把事物替换为震动（因为我们知道没有什么事物不是震动），那么很自然的，我们就得到了关于震动的一个根本规律：一个震动，在时序上，总是在发生和不发生的两个状态之间转换。
这是显而易见的，因为如果它总是发生或者总不发生，对于观察者来说，它就是恒有，或者是恒无，恒有或者恒无没有变化，没有变化就无法被观察者识别标定，那么它就不是事物 - 当然你反过来看也不难理解，这时间的事物其实个个都是奇迹，因为相对于恒有或者恒无而言，在有和无之间交替变化，又必须在没有原因的前提下发生，那么这一切就已经超越了二值逻辑可以理解的范围了 - 但具有无限可能性的自然，总可以保证这一点，这才是神奇之处。

一个时有时无的存在，就是一个震动。这里有也不见得有什么，无也不见得无什么，有和无只是两种可以区分的状态，这状态本身无有实质，而其转换才体现出万事万物的存在和变化。自然本体因其无限可能性而出现时有时无的震动，自然本体因其无线可能性，而不区分单数和复数，所以在无限多个也就是一个自然本体的无限多种也就是一种震动上体现的，就是这一切。这一切包括但不限于我们所观察的物理实相世界。

现在，让我们尝试度量一个震动 - 只要提到度量，这又是数学的范围了。
一个震动，必须由其它震动来度量，这其它震动的频率最好比这个震动的频率更高一些，比如是2倍到无限大倍数。我们选择无限大的倍数，以保证结果是绝对精确的。
无限大倍数的度量，由此相当于一个无限精度的浮点数，一个无限致密的数轴，在此你应该知道的是，这是观察者选择的，自然的精度自然可以无限致密，但你的观察有多致密，决定于你自身可以感知你自身的密度极限。

用无限致密的震动度量一个有限致密的震动，
这有限致密的震动就自然被分为两个部分，一个震动的部分，一个非震动的部分。
因为观察者总是会选择具有相同频率和相位的震动当做同一个震动来理解，
所以即便这个震动完成了，观察者还会选择另一个震动来当做这个震动的延续，
其结果就是，你只要观察，这个震动就不停止，这便是所谓人则原理的一个体现。
而你不观察呢？
你其实无论观察不观察，自然过程都是自然过程。只是你的观察会选择你的世界的形式，
也就是说，你通过观察来选择了构成你的世界的组成部分。
那些未被你观察到的，被其它观察者观察，就构成了其它观察者的世界的组成部分。
平行世界的原理，就在于此。因为无限多的观察者存在，而使得具有无限可能性的世界
同时体现出无限多的样子，也就是无限多个世界。
回到“单一观察者一厢情愿的执着”，震动的延续性由观察者的观察而得到保证，
这时候你可以画一个方波来描述它。这方波就像一个长城，突出来的代表震动，
凹下去的代表不震动。

我们用a来描述震动的长度，b来描述不震动的长度。
a和b不一定相等，这就是一个占空比可调（PWM）的方波了。
但是a和b究竟是多少呢？
除非你也同时度量另一个和这个震动不同的震动，得到a',b'，否则，a和b本身都是没有数值的，因为没有可比较的参数 - 除非你把a和b本身相比较 - 这就是角的来源，后面具体说。

描述一个震动，我们得到两个数，a和b，但不一定需要他们的相对值。
这两个数，不是一个数，这是个麻烦！
为什么呢？
因为我们度量震动，是想要知道它的“效果”，或者说，它整体上和另一个震动有什么不同。
不同即差异，才能产生效果，这与恒有和恒无不能被感知的原因是一样的。
有了a和b，怎么才能知道效果呢？

我们唯一知道的就是a和b不同时发生。
让我们看看能否利用这一点：
a和b不同时发生，就等价于，他们同时发生的时候效果为0，也就是
a x b = 0
这个x，可不是乘号，不过相信你也明白了，它是比乘更基本的东西，是乘法运算得以派生的基类。
如果你没忘记解析几何，无论平面解析几何还是空间解析几何，你一定会记得两个向量的向量积为0，意味着这两个向量彼此垂直。
不只是几何，矩阵，即多个无关向量的线性组合，也是一样的运算法则。
你如果想要问，为什么乘积为零意味着垂直，这就是答案。

如果axb意味着不同时，那么axa呢？
显然就是同时。
要获得(a,b）的作用效果，被观察者有了，还得有观察者和观察的行为。
我们已知这个x意味着观察，axb意味着两个不同时发生的事件被第三方观察，且这个结果为0，那么两个同时发生的事件被第三方观察，就应该写作axa，也就是a的平方。
但是你不要忘了，震动，就是震动，不是恒有，axa是恒有观察恒有，这是没有意义的（即无法被第三方感知）。
那么第三方观察量个震动，它的实际效果究竟有多大呢？
你可能已经发现了，这里说的是两个震动，不是一个震动了。
axb 在一个震动里面是不可能发生的（其结果为0），它有一个等价物，就是在两个震动里面，一个是 a,b 另一个是 -a,-b 也就是说，a意味着震动，-a意味着不震动，b意味着震动，-b意味着着不震动，这两个震动是相位彼此相反的两个震动。把这两个震动放在一起，对于观察者来说，得到的就是恒有和恒无同时出现。数学上，你会看到两个0，一个是恒有对应的 a,-b，另一个是恒无对应的 -a, b；这个东西很怪，因为常规上理解，应该是0,0，但是这是震动，震动分为两个部分，你没法把其中一个部分单独拿出去，如果你得到0,0 也就是两个恒有或者两个恒无，那么你实际上就是在用“正交”的方式创造震动，同时消灭震动了 - 这没有问题，但我们不急于讨论它。

我们知道，a,b和-a,-b这两个震动会被第三方综合起来认为是一个非震动，那么a，b和a，b，这两个震动将会被第三方综合起来认为是 “一个” 震动，而只有a，b的，则会被认为是“半个”震动 - 这里说的就是90度和180度的差异，也是i和P的差异（P为所有质数乘积，其相对值为-1）。
当两个震动被认为是一个震动的时候，这两个震动的综合效果时多少呢？
很自然，我们还是用乘法来计算
(a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2
乘法分配率和加法结合律，你其实可以都不管它，只是老老实实的去把谁和谁该放在一起发昂在一起就好。
我们本来是要一个完全有效的震动，但是你也看到了，这里出现了2ab。
2ab，也就是ab+ab，a和b不管是谁的a，谁的b，同时出现的结果就是0。
所以这一项必须拿掉，得到
(a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2
a和b都不是0，但是a和b的乘积是0，原因你已经知道了，可是这个表达式呢？
这个表达式的左端，是一个震动的平方，他应该写作c^2的形式，
右端是两个数的平方，结果，
c^2= a^2 + b^2
你看，这是谁？
这就是勾股定理。

c，它代表的是一个震动的“终极效果”，它虽然不能用a和b相加（因为永远不能同时发生），但是它的平方却可以用a和b的平方来表示。
如果你知道费马定理“问为什么对于自然数x，y，n x^n+y^n=z^n当n大于2的时候不成立”，
现在你已经有了答案 - 毋庸置疑，能写出勾股定理形式，是有一个非常强的原因的，这不是一个数学游戏，而是一个物理现实，相比较而言，三次方或者更多次的原因在哪里？至少从这里看，是没有的。

ａ意味着震动部分的度量结果（长度），ｂ意味着非震动部分的度量结果（长度），ｃ意味着整个震动的度量结果（长度），它们三者之间遵循的就是我们熟知的勾股定理。
所以当你看到一个墙角，你应该意识到的是，那是震动和非震动相位转换的地方。而当你看到xyz之间彼此垂直，你应该意识到，那里不仅存在相位转换，还存在半频和倍频的情况。
sinA = a/c
cosA = b/c
tanA = a/b
cotA = b/a
……
这些都是什么意思，恐怕你也不用再怀疑了。
角度，实质上就是震动和非震动之间的比例关系的体现，因为如果没有a'和b'，a和b各自的相对数值就无法知道，但是a/b的数值总是可以知道，所以只要有震动，它无需和任何其它震动比较，它就有一个“角度”（角动量的等价物是角度，相信你已经知道自旋是什么了），所以角度显然比长度更为基本。
这一句话下来，长度也得到了定义。
最开始问的问题，角度是什么，长度是什么，就都得以说明了。
这里有几何吗？
没有。都是震动，都是震动和震动之间的关系。这里的长度指的是时间上的长度，角度也指的是时间上的角度。所以严格说，这里讲的是含时的复平面上的事情，而不是普通平面上的事情，虽然普通平面可以把这一套再搬出来，也一样有效。
说到复平面，你看，这都一起出来了：
a，b构成一对，你可能会说，这就是a+bi吧。
不要着急，因为它不是。
a^2+b^2 = c^2
这里面a是震动中“有”的部分，b是“无”的部分，c是“似有似无”的部分，换句话说，如果你看到a，你就看不到b，但是“有可能”看到c，这时候c就比a大，但是比a+b小。
把你能看到的移动到一侧，看不到的扔到另一边，
a^2 - c^2 = -b^2
我们知道c^2不应当被减去，这是因为总的效果 -b^2 是一个“有”的效果，不是一个“无”的效果，所以符号必须调整，同时引入一个特殊的算子（operator），使得方程两边的平衡和它所表达意思相符。
a^2 + (ci)^2 = (bi)^2
这时候左右两边都是真实有效的了，也就是说，a，b，c都是实数，i把代表震动中“有”的那一部分翻转到了“无”的一面。
所以复平面上的复数，其实质是
z=a+ci
其中a指的是震动中“纯有”的那一部分，c指的是“有和无相交互产生有”的那一部分，z也是“有”的那一部分，它是用“无”的度量结果翻转得到的。

技术性太高了。。。

a^2 + (ci)^2 = (bi)^2

方程的左侧是“有”的效果，方程的右侧(bi)^2 是“无”的翻转的效果，这里其实体现了有和无之间的平衡，即有多少“有”，就有多少“无”。
显然这也隐含了对于a和b构成的震动，其内在含义是a和b必定相等。
那么不相等，只能由彼此之间的相对关系来表达，亦或是，作为一个局部的暂态过程来实现。
这也意味着，使用假定的无限高密度（无限大频率，无限小波长）的震动作为度量的时候，a和b总是可以相等。
tanA=a/b = a/a = 1
A=45度。
为什么你的眼睛对45度角的反映特别强烈？
你该感谢上帝，他以这种方式告诉你什么叫做公正。

话说，有多少震动，就有多少不震动，有多少有，就有多少无。
有多少有，就有多少无，那么结果是有还是无？
有人认为结果是有，因为1+0=1。
但是他不知道得是，这有也并非实有，因为它只是无的相对物。
所以这个平衡的真正写法应该是
(+1)+(-1) = 0
你看到这个方程，可能会很遗憾，觉得落入了“生生世世穷忙碌”的陷阱里面。
这意味着，你并不懂得“0”。
刚才曾经提到，0意味着恒有或者恒无，这恒有或者恒无，都是恒常，
这恒常就是自然本体本身，它是唯一非相对性存在的实体，也是自然中唯一的理则。
它不是有，也不是无，一切有无均是它的体现 - 你也是它的体现，反之，它也是你的体现。
所以不要再把自己限制在“有还是无”这种狭小的空间里面，
这一切都是你，正如你是这一切，有还是无，真的是太平常不过了。