回复：【技术贴】至大学要上数学系的人，你要在大学学完这些

（九）“数学物理方程”和“偏微分方程”的参考书
1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿的"数学物理方程"(上海科技) 在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的。注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么? 一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理, Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^infty推理的可能--数学经济是怎么回事, 可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!! 学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等), 故此没能够看太多的参考书.北大的课本可能相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦对于显式解讲得更多些.
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆的"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近。这本曾出过一本"官方的"习题解答,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了。那本解答对于做作业是很有帮助的. 比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎的"数学物理方程--方法导引"是本非常好的讲习题的书。里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.
8.O.A. Ladyzhenskaya的"The Boudary value Problems of Mathematical Physics"和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说。既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧, 在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎的"物理学与偏微分方程"(高教)还是很不错的.该书的起点并不高,应该比较容易看. 据说该书的责编极为负责, 认真到连里面的公式都一个个去推导的地步. 从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的. 比如 10.L.Bers, F. John, M. Scheter, "artial Differential Equations"。Bers是个很有趣的人,可以看看
11.L.Steen, ed.的"今日数学"(Mathematics Today) 里的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错.
12.F. John的"artial Differential Equations"。
13.J. Rauch的"artial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor的"artial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前半就可以,后半也看当然更好:-))。引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander的"Linear Partial Differential Operators, I"要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已--法国科学院通讯院士)。我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.

（十）“拓扑”的 参考书
1.李元熹,张国(木梁)的"拓扑学"的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作. 中文的参考书里面好象
2.熊金城的"点集拓扑讲义"是比较好的.该书也有些名气. 不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书:
3.J.L. Kelley的"General Topology"(GTM 27)名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是想写成课本的，因此每章后面都有习题,按A,B,C, D,...编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看 Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实. 我个人的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣. 再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业的"基础拓扑学"是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp的"Lecture notes on elementary topology and geometry (中译本基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)是极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义. 如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking的"General Topology"七十年代末写的,内容翔实。这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了.讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg的"Lectures on Algebraic Topology"属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类. 还有象GTM里面的
8.W.S.Massay的"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)也是写得很好的书. 拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著。这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。 M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
Spanier‘s "Algebraic Topology" can not be neglected.
it is a classic in this field, though it is not easy to read. Aleksandrov‘s " Combinatorial Topology " is very good for beginner.
But it is too large, it contains 3 volumes. Bredon‘s " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of Spanier‘s great book.

（十二）“流形”的参考书
1.W.M.Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" 从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦, 讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,但我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,几乎所以的东西都是有详细证明的. 讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等. 中文书里面有
2.陈省身,陈维桓的"微分几何初步" 很有大师风范,只是印刷质量不算太好.另外被认为写得比较好的中文书有
3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英 "黎曼几何初步"。这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑流形上花时间, 进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一个索引,实在是本好书. 有胃口的话,还可以看看
4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and Applications"的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷的第一章. 二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本
5.Gallot, Hulin, Lafontain "Introduction to Riemannian Geometry"(?) 是Springer-Verlag Universitext中的一本,应该说写得很好, 评价(我听到的)也很不错. 用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要明白的. J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的,
6.J.Milnor Topology from a differential point of view (中译本:从微分观点看拓扑) 7.J.Milnor Morse Theory (中译本:莫尔斯理论)讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等.这里有
8.Spivak "Calculus on Manifolds"(?) (中文名字就叫"流形上的微积分"). 有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少?
9.V.I.Arnold "Mathematical Mathods of Classical Mechanics"里关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了. 还可以一看的书有
10.R.Narasimhan "Analysis on Real and Complex Manifolds" (中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986)陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.我想至少前一百页是可以看的.
11.苏竞存 "流形的拓扑学". 此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话, 有意思. 有本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,
12.C. von Westenholz "Differential forms in Mthematical Physics" (有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本) 这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该说帮助不小. 至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",可能是太深了点,非物理学家不能理解.


@单_眼_皮de猪 @闪闪惹人爱822 ：技术贴加个精吧，以后吧友说不定会有用哦，还是有关学校的

高端技术贴！

额。。。。