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讨论一个初等问题: 面积为何是个向量 ?

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学过向量叉积 (cross product) 的人都知道, 向量叉积既代表一个面积, 又是一个向量 (赝向量 pseudovector). 这个概念以及它的延伸概念在力学与电磁学中有许多应用. 在刚接触这个概念时, 某些人可能会有疑虑 (像我就有), 不过, 渐渐地, 当我们对它已经非常熟悉后, 就不再过问它是为什麼了.
假设今天有一位朋友 (例如中学生, 或是读文科的朋友) 请求你解释为何叉积可视为向量, 你会如何解释 ?


1楼2012-06-26 19:48回复
    一个球面面积的向量指向何方?呵呵


    IP属地:河北3楼2012-06-26 20:17
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      额。。。才发现被抢先了


      IP属地:山东4楼2012-06-26 20:29
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        dA本可以表示成一个2-form
        而在三维欧式空间里2-form能很自然地转成1-form,
        然后又很自然地转成vector。
        于是就用一个vector来代表面了。


        5楼2012-06-26 21:08
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          向量叉积既代表一个面积, 又是一个向量
          -------------------------------------------
          我觉得只是“数值上”等于而已。
          二维坐标的定积分,其数值等于曲线与坐标轴之间的面积,但是我们把该过程称之为“求定积分”,没有说是“计算面积”啊。
          “数值上等于”不能掩盖其“精神实质”,呵呵。
          瞎扯,见谅~~
          


          IP属地:上海6楼2012-06-26 21:19
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            定义面积的方向是为了和后面的通量定义协调的吧~~~~~~~~~~~
            面积本来可以没有方向的~~~~~~~~

            


            8楼2012-06-26 21:42
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              为什么我觉得叉乘是个很奇怪的东西
              V×V→V 是个什么奇怪的映射


              IP属地:湖北9楼2012-06-26 21:48
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                用来区分 流 的流入和流出才定义面积的方向的吧;
                不是矢量场,貌似就没那个区别


                IP属地:广东10楼2012-06-27 11:51
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                  我记得三维欧氏空间中两个矢量叉乘叉乘得到一个二阶反对称张量(是么是么?)其相当于一个矢量?


                  IP属地:山东来自iPhone客户端11楼2012-06-27 12:38
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                    这个问题没什么的,科学家对于新概念的引入,仅仅是为了描述方便或者,计算简洁(比如张量),要么是不得不引入来描述他们想表达的属性。


                    来自手机贴吧12楼2012-06-27 12:41
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                      我个人的意见是:任意阶张量的叉乘可以按下面的来定义:

                      可见,两个(1,0)型张量(矢量)的叉乘是一个(0,1)型张量.可以和一个(1,0)型张量(矢量)认同.


                      13楼2012-06-27 17:19
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                        要是说在数值上为何可以等于面积呢.那是因为叉乘的定义正好相当于它所构成平行四边形的边长乘以高.如果再加上一个法向量,那就更是如此了.
                        可以这么说,不是叉乘等于有向面积,而是有向面积可以用叉乘来表示.


                        14楼2012-06-27 17:25
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                          还有,就是三维空间中的有向面积只需用一个基来表示,而向量也是只用一个基来表示的.实际上,矢量是一个抽象的数学概念.所以,问"向量叉积既代表一个面积, 又是一个向量"这个问题相当于问"为什么5可以表示5斤白糖,又可以表示5个鸡呢?"


                          15楼2012-06-27 17:29
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                            我是在高一时发现“问题”的。质点做半径为r的匀速率圆周运动线速度v与角速度ω满足
                            v=ωr。 (1)
                            在其它地方,老师一再强调速度v是矢量(向量),位置r是矢量(向量)。现在这两个矢量v,r互相垂直,这样ω肯定不能是一个数,到底角速度ω是什么量?


                            16楼2012-06-27 19:31
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