亲王:【悠哉】啊咧,阿碧丝,你不是在玩吗?
阿碧丝:是啊,可是(解释了一番,省略一万字),就是这样啦,我不会那道题,问问你啦!这个如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.
求证:∠BAC=90°怎么写啊!
亲王:【长篇大论】这个啊,设EF与AD交点为G,△ABD、△ACD的内心半径分别为r1和r2,∠BAD为∠1,∠CAD为∠2; S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2,S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2,以上两式相除得:(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)],∵AE=AF,∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①;S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2,S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2,以上两式相除得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②;将①式代入②式得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2, (AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC,(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC,上式两边平方得:[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²,∵AB²=BD²+AD²,AC²=DC²+AD²,∴上式整理为:2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²,BD/DC=AB²/AC²,(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC,∵sin∠1=BD/AB,sin∠2=DC/AC,∴上式整理为:sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③;cos∠1=AD/AB,cos∠2=AD/AC,cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④;将③式乘以④式得:(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1,sin2∠1=sin2∠2,则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2,∠1+∠2=π/2;综上当△ABC不为等腰△,即∠B≠∠C时,∠BAC=90°。
阿碧丝:诶呀!什么呀!都听不懂,你直接和孩子们说吧!
亲王:【一口气】我只说一遍!你听清楚啦!设EF与AD交点为G,△ABD、△ACD的内心半径分别为r1和r2,∠BAD为∠1,∠CAD为∠2; S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2,S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2,以上两式相除得:(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)],∵AE=AF,∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①;S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2,S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2,以上两式相除得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②;将①式代入②式得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2, (AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC,(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC,上式两边平方得:[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²,∵AB²=BD²+AD²,AC²=DC²+AD²,∴上式整理为:2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²,BD/DC=AB²/AC²,(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC,∵sin∠1=BD/AB,sin∠2=DC/AC,∴上式整理为:sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③;cos∠1=AD/AB,cos∠2=AD/AC,cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④;将③式乘以④式得:(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1,sin2∠1=sin2∠2,则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2,∠1+∠2=π/2;综上当△ABC不为等腰△,即∠B≠∠C时,∠BAC=90°。
孩子A:哥哥,人家听不懂……
亲王:【拍案而起】这么简单的思路你都听不懂!!!
孩子A:你这简单的让人受不了!
亲王:神马!你怎么这么点字都记不住!!!
孩子A:你这一点真让人受不了!!!