用波函数ψ(x,y,z,t₀)描述t₀时刻体系的状态这句话包含下面两个意思：
1)给出ψ(x,y,z,t₀)可以计算出t>t₀的波函数ψ(x,y,z,t);
2）可以算出该时刻任意力学量的可能值，相应几率及平均值.
利用1）可以得到下面结果：
a)由于可以用波函数ψ(x,y,z,t₀)描述t₀时刻体系的状态（不包含波函数对时间的导数），因此波函数ψ满足关于时间t的一阶偏微分方程。经典物理的波动方程是
(1)
这是关于t的二阶偏微分方程，要得到有物理意义的解答，需要知道初始条件，即开始时刻的波函数及其对时间的导数，这与波函数描述体系状态这句话矛盾，因此不能采用。但是，经典物理中关于时间的一阶偏微分方程是扩散方程
∂u/∂t=c²∇²u (2)
这种方程不存在波动解，例如著名的德布罗意波
ψ(r,t)=AEXP[i(k·r-ωt)] (3)
其中动量矢量P=hk(式中的h都是“带靶“的)能量E=hω就不满足（2）式。要方程（2）有波动形式的解答，这个方程的系数必须包含虚数i。这就是薛定谔方程
ih∂ψ/∂t=Hψ (4)
含有虚数的关键理由。
b)sin(kr-ωt)及cos(kr-ωt)是波动方程（1）的两个独立特解，它们的线性叠加也是（1）的解，因此，方程（1）的通解可以表示成
u=asin(kr-ωt)+bcos(kr-ωt) (5)或
u=acos(kr-ωt+φ) (6)
也可以表示成
u=AEXP[i(kr-ωt+φ)] (7)
上面三种形式都可以是波动方程（1）的解。具体解题时我们完全可以人为选取方便的形式.由于最后的解答要满足初始条件，经典物理的初始条件总是实函数，因此尽管经典物理也适用复数（7）式描述波动，但是真正有用的是其中的实数部分或虚数部分。也就是说经典物理中使用复数完全是为例方便，只要不怕麻烦，你完全可以不用。即使用了复数描述波动，事实上也是选取这个复数的实数部分（虚数部分不要）。
量子力学就不同了，量子力学认为：德布罗意波（7）是能量动量具有确定值的平面波，而（6）式（即德布罗意波的实数部分）则是动量为p的平面波与动量为-p的平面波的叠加，这是一个驻波，不是行波。也就是说：我们要用整个（7）式描述德布罗意波，不能仅仅取实数部分。
2）可以算出该时刻任意力学量的可能值，相应几率及平均值.
在学习这部分时重点应该是题目给出波函数后无和具体计算任意力学量的可能值相应几率及平均值。
为了方便，通常都先将给定的波函数归一化，在后面的讨论中我们认为给定的波函数ψ已经归一化。假设我们要讨论力学量L的可能值相应几率及平均值。具体计算步骤如下：
a)解力学量L的本征方程Lφ=λφ。假设解答是Lφn=Lnφn其中Ln是本征值，φn是相应的归一化的本征函数。
b）将给定的波函数ψ按力学量L的本征函数φn展开
ψ=C₁φ₁+C₂φ₂+...+Cnφn+...求出展开系数Cn=∫φn*ψdx=<φn│ψ>
c) 若展开系数Cn不为零，则Ln就是测量力学量L是的一个可能值，相应的几率是│Cn│²
d)力学量L的平均值=∑│Cn│²Ln。当然也可以用平均值公式<ψ│Lψ>
1)给出ψ(x,y,z,t₀)可以计算出t>t₀的波函数ψ(x,y,z,t);
2）可以算出该时刻任意力学量的可能值，相应几率及平均值.
利用1）可以得到下面结果：
a)由于可以用波函数ψ(x,y,z,t₀)描述t₀时刻体系的状态（不包含波函数对时间的导数），因此波函数ψ满足关于时间t的一阶偏微分方程。经典物理的波动方程是
(1)这是关于t的二阶偏微分方程，要得到有物理意义的解答，需要知道初始条件，即开始时刻的波函数及其对时间的导数，这与波函数描述体系状态这句话矛盾，因此不能采用。但是，经典物理中关于时间的一阶偏微分方程是扩散方程
∂u/∂t=c²∇²u (2)
这种方程不存在波动解，例如著名的德布罗意波
ψ(r,t)=AEXP[i(k·r-ωt)] (3)
其中动量矢量P=hk(式中的h都是“带靶“的)能量E=hω就不满足（2）式。要方程（2）有波动形式的解答，这个方程的系数必须包含虚数i。这就是薛定谔方程
ih∂ψ/∂t=Hψ (4)
含有虚数的关键理由。
b)sin(kr-ωt)及cos(kr-ωt)是波动方程（1）的两个独立特解，它们的线性叠加也是（1）的解，因此，方程（1）的通解可以表示成
u=asin(kr-ωt)+bcos(kr-ωt) (5)或
u=acos(kr-ωt+φ) (6)
也可以表示成
u=AEXP[i(kr-ωt+φ)] (7)
上面三种形式都可以是波动方程（1）的解。具体解题时我们完全可以人为选取方便的形式.由于最后的解答要满足初始条件，经典物理的初始条件总是实函数，因此尽管经典物理也适用复数（7）式描述波动，但是真正有用的是其中的实数部分或虚数部分。也就是说经典物理中使用复数完全是为例方便，只要不怕麻烦，你完全可以不用。即使用了复数描述波动，事实上也是选取这个复数的实数部分（虚数部分不要）。
量子力学就不同了，量子力学认为：德布罗意波（7）是能量动量具有确定值的平面波，而（6）式（即德布罗意波的实数部分）则是动量为p的平面波与动量为-p的平面波的叠加，这是一个驻波，不是行波。也就是说：我们要用整个（7）式描述德布罗意波，不能仅仅取实数部分。
2）可以算出该时刻任意力学量的可能值，相应几率及平均值.
在学习这部分时重点应该是题目给出波函数后无和具体计算任意力学量的可能值相应几率及平均值。
为了方便，通常都先将给定的波函数归一化，在后面的讨论中我们认为给定的波函数ψ已经归一化。假设我们要讨论力学量L的可能值相应几率及平均值。具体计算步骤如下：
a)解力学量L的本征方程Lφ=λφ。假设解答是Lφn=Lnφn其中Ln是本征值，φn是相应的归一化的本征函数。
b）将给定的波函数ψ按力学量L的本征函数φn展开
ψ=C₁φ₁+C₂φ₂+...+Cnφn+...求出展开系数Cn=∫φn*ψdx=<φn│ψ>
c) 若展开系数Cn不为零，则Ln就是测量力学量L是的一个可能值，相应的几率是│Cn│²
d)力学量L的平均值=∑│Cn│²Ln。当然也可以用平均值公式<ψ│Lψ>
