很多半路出家的通常都学不好， 表面上很博学，实际上所学不精，属于纸上谈兵。不过也有一些极聪明的，虽半路出家，也能学得非常好， 但这类人凤毛麟角。
要说达到什么要求， 这很难说。 有些人号称自己看书无数， 实际上都是一知半解， 不足取也。 此外， 也有要看你学数学的目的是什么。 如果是希望将来做这一行， 那自然要求要高点；否则，也就无所谓了。
据我的经验， 本科数学的水准大知要如此方能称得上有资质：
分析方面， 以菲赫金戈尔兹《微积分学教程》为例， 当滚瓜烂熟。
其次，复分析方面， 以阿尔福斯《复分析》为例， 也要熟练掌握。
代数方面， 以贾可伯逊《代数基础》第一卷为例， 不但要了然于胸， 且能解决其大部分习题。
几何方面， 以杜卡莫《曲面和曲线的微分几何》为准， 计算上要达到得心应手， 随心所欲的层次。
数论方面， 以华罗庚《数论导引》为准， 大部分章节当烂熟于胸， 且能解决大部分习题。
拓扑学方面， 以曼克勒斯《拓扑学基础教程》为例， 要深得精髓， 能自己举例子和反例， 能解决大部分习题。
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以上这些基础课程， 你要是有一门达不到熟练的境界， 那最好不要打算从事数学， 因为这只会浪费时间。 做数学这一行， 没有资质是不行的， 智商其实很重要。


不过话说回来， 现在很多从事数学的研究生和老师， 其实数学基础也都不咋地。 要说资质嘛， 很多人也都那个样。 所以从主观原因上讲， 我国数学上没有作为也是可以理解的。 当然这绝非最重要的因素。

不知道楼上是不是我师弟：）
这些书只是举例子， 是针对那些半路出家，希望自学成才的人推荐的。
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前文忘了补充一句， 就算这些基础学科都学好了， 将来也不一定能学好更深的数学， 更别谈做研究了。 这其间的道路漫长曲折，比淘金还难。 所以如果一开始就觉得不能胜任的话，最好还是放弃，不要半路出家， 否则只会浪费时间。

晕倒~过了十五天才得到答案~我以为此问题沉了！我是提问者，您的回答我非常满意，谢谢。我属于您所说的那种“很多半路出家的通常都学不好， 表面上很博学，实际上所学不精，属于纸上谈兵”的人。因为我没有上大学的机会，又喜欢数学，所以自学，本人智商有限，不做深入研究，仅是个人兴趣，当然我是希望尽可能的达到高要求啦。分析方面我读过数学分析，实变函数，泛函分析，用的都是自己邮购的国内教材。几何方面则是陈省身的微分几何讲义和白正国的黎曼几何讲义，感觉后者通俗易懂一些，代数则是武汉大学的近世代数，冯克勤的交换代数基础，周博埙的同调代数。拓扑学也是用的国内教材，重点放在代数拓扑同调论部分，对了，你能告诉我同调论的调字读音是什么吗？学了半天还不知道怎么读呢~谢谢！

LZ河北唐山的，是不是樱析光？
另外以ram的标准，
似乎大量的大学生都是“通常都学不好， 表面上很博学，实际上所学不精”
的类型啊。。
惭愧ing..

回复：7楼
确实， 大多数学生数学都不咋地。 正如我说的， 就算本科的基础学好了， 也不能保证研究生的数学能学习好。 就算研究生数学能学好，也不一定能做好研究。总之其间的辛苦曲折是一般人所不能体会的。
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半路出家确实有一些能学得很好。 比如我有个师弟，就天赋极高， 以前是学环境的--但他毕竟研究生读数学的；如果从头到尾都是家中自学，我就不知道是否有那样的能人了。
我还有个师弟， 以前是学电子的， 后来转做数学， 也学得很好， 在很多方面都超过我。
所以从这个方面来讲， 正如古人所说的，“学无前后，达者为先” 。 半路出家未必就不行。

但是，很多半路出家的自学者会遇到以下几个限制，一直以大多数都很难有突破：
1。 资质所限----不得不承认，学数学智力很重要。
2. 学习条件所限--很多人没机会接受正规的本科数学或者研究生数学训练， 所以基础上会比较薄弱。 这样一来， 很多人所学必定盲目且不精专。 由于缺乏一个参照的环境， 所以对自己的水准认识也不清晰， 很多人容易自我膨胀以为“博学”云云。
3. 无导师指点--这里指已经有了本科基础之后的学习及研究， 此时导师是很重要的因素， 对个人学术水准能否突破本科层次是至关重要的--特别是做研究。 学数学如果不做研究， 就等于学了屠龙之技， 却无用武之地， 很容易学了就忘。


从负面来讲， 半路出家者， 很多人心态上无法正确评价自我水平， 在很多时候过于高估自己，这样到了一定程度后，就很难再突破自我。 所谓“山外有山，人外有人”这话是极有道理的。
人一旦自满，学起数学来就自以为样样皆通， 也就不会仔细去推敲， 因而必定囫囵吞枣、蜻蜓点水，最终学得样样不精， 只能纸上谈兵。


所以半路出家希望能在数学上有所精进的人， 首先要端正态度， 脚踏实地， 一点点学起来。 学数学切忌贪快， 一味快则必定不精。 只要循序渐进， 一点点积累起来， 将来或能有所成就。  
怎么脚踏实地？ 很简单的， 读书不求多， 一门课程，选定一本经典好好精读即可。 书后习题要认真做， 最好能用本子记录下来。 不求快的一个办法就是边学边做笔记整理。我个人当年学习微积分，就做了好几本笔记及习题解答本。 这是很受益的一种学习方法。
学数学循序渐进很重要， 自学者常常在这上面搞大跃进， 则结果可想而知。
以代数为例， 群环域模的基础要打得很牢靠再去学更深的，否则都是徒劳。 抽象的同调理论这东西，与其这么快学起来，不如先把拓扑学好好掌握， 再回头去学岂不是更好？
以几何为例， 陈省身的微分几何讲义是很好的打基础的书， 如果这本书前面大部分章节吃不透， 那以后的黎曼几何、复几何等等就必定是学得很肤浅。 微分几何计算这一关很多人其实都过不了， 你真要他们下手去算多半都不行--即使是数学专业的， 基本上以纸上谈兵的居多。

回复：6楼
调-diao, 这个词来自化学。

回复：9楼
学数学如果不做研究， 就等于学了屠龙之技， 却无用武之地， 很容易学了就忘。
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感觉还可以去应用啊！
个人认为中国的工程师就是数理基础太差，所以比不上苏联的。
或者你认为工程师所用的数学都限于本科水平？

回复：13楼
我这里谈的是基础数学。 应用的不清楚。