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一、耐心选一选，你会开心:（每题6分，共30分） 1．下列说法：①全 等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的 对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　　） Ａ．①②③④　　　Ｂ．①③④　　　Ｃ．①②④　　　Ｄ．②③④ 2.如果 是 中 边上一点，并且 ，则 是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰三角形 3．一个正方形的侧面展开图有（ ） 个全等的

a,b是正整数，若a=b+1,则b²-a与a²-b至少有一个是质数。求反例……

２、翻折法构造全等三角形 例２ 如图２所示，已知ABC中，ACBC，90ACB，BD平分ABC，求证： ABBCCD。 D 图１ E C B A 2 证明：∵ BD平分ABC，将BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BECE， 在BCD与BED中， BCBECBDEBD BDBD ∴ BCD≌BED（SAS） ∴ 90DEAACB,CDDE, ∵ 已知ABC中，ACBC，90ACB， ∴ 45A, ∴ 45EDAA, ∴ DEEA, ∴ ABBEEABCCD。

分析：利用角平分线构造三角形，将D转移到AEC，而AEC与CEB互补，CEBB，从而证得180BD。主要方法是：“线、角进行转移”。 证明：在AB上截取AEAD， 在ADC与AEC中， ADAEDACEAC ACAC ∴ ADC≌AEC（SAS） ∴ DAEC,DCCE, ∵ DCBC, ∴ CEBC， ∴ CEBB, ∵ 180CEBAEC, ∴ 180BD

5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形． 例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2， 求：△ABC的面积． 解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等 的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到 与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG =x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5． 解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=×5×6=

4．倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE． 求证：AC=BF 证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC，DH=DA， ∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF， ∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 图（7） ∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． �化为线段，再进一步证明即可。证明略。

3．旋转法 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例3　如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。 分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则≌，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。

2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ． 证明：如图（1），过O作OD‖BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD‖BP， ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+B

1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E， 求证：AB+BE=AC． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC， 由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 △ ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC．

a,b是正整数，若a=b+1,则b²-a与a²-b至少有一个是质数。求反例……

全等三角形性质

全等三角形判定