【命题】R（实数域）上任意代数扩张E若不为R，则同构于C（复数域）。
特别的，R上除二次扩域外没有其他有限次扩域。
【证明】
设 R⊂E是代数扩张，任取α∈E，α是R上不可约多项式f(x)的根。R上只有1次或二次不可约多项式。若为1次，则α∈R。若E中有α不属于R，则它是R上二次不可约多项式的根，设α满足α^2+bα+c=0,b,c∈R.则(α-b/2)^2=(1/4)(b^2-4c).因α不属于R,故b^2-4c<0.
因此sqrt(b^2-4c)=sqrt(4c-b^2)sqrt(-1)∈R(α),而有sqrt(-1)∈R(α).
显然R(sqrt(-1))=R(α),即C≌R(α).
又任β∈E是R上代数元，由C是代数封闭域知R（sqrt(-1)）也是，于是β∈R（sqrt(-1)），即得E=R(sqrt(-1)).
上面证明了代数扩域R⊂E，只能是E=R或E=R(sqrt(-1)).它们是1次扩域和2次扩域。R上没有3次扩域。
p.s.今天学到了域扩张,终于理解到了..留贴纪念
我很无聊
特别的，R上除二次扩域外没有其他有限次扩域。
【证明】
设 R⊂E是代数扩张，任取α∈E，α是R上不可约多项式f(x)的根。R上只有1次或二次不可约多项式。若为1次，则α∈R。若E中有α不属于R，则它是R上二次不可约多项式的根，设α满足α^2+bα+c=0,b,c∈R.则(α-b/2)^2=(1/4)(b^2-4c).因α不属于R,故b^2-4c<0.
因此sqrt(b^2-4c)=sqrt(4c-b^2)sqrt(-1)∈R(α),而有sqrt(-1)∈R(α).
显然R(sqrt(-1))=R(α),即C≌R(α).
又任β∈E是R上代数元，由C是代数封闭域知R（sqrt(-1)）也是，于是β∈R（sqrt(-1)），即得E=R(sqrt(-1)).
上面证明了代数扩域R⊂E，只能是E=R或E=R(sqrt(-1)).它们是1次扩域和2次扩域。R上没有3次扩域。
p.s.今天学到了域扩张,终于理解到了..留贴纪念我很无聊
。您有什么资格来奉劝我？我发表低级论文又怎样，我对自然科学的认知和探寻才是我的目的，我执着，我热爱，它陪伴着我走过的一切都是我一生中不可或缺的。而不是像您，得个奖还炫耀，有意义吗？当然，不同的人的目的不同，您喜欢的不过只是那种“被人崇拜”。您的论文就好比“百度百科”，我也会写。如果我写“复数的性质”可能会写成“实数域的二次扩域及性质”。
数学讲究成果，鄙人笑而不语。
我感兴趣的是科学，数学知识其中之一
