放假三天，第一天在睡觉……第二天在恢复……第三天在想和算东西…… 休假久了，放假不放假没啥区别（废话）。
所以，打算把一个想到很有意思的东西记下来——一大串想法的一部分，不是起点，更不是终点。
场论在数学上是很说不过去的，因为充满了发散。
记得某个人提过：场论的严禁性在数学上是没有被证明的东西，特别是路径积分。
上次在贴吧里写了一份东西，用简单地估算证明了场论路径积分会出现阿烈夫2个乘子，所以必发散——也就是说，同一个作用量会有阿烈夫2个不同的场构形与之对应，所以同一个作用量就需要乘上一个阿烈夫2，然后才能对作用量做积分，导致的结果就是必发散。这里说的是生成泛函。
所谓阿烈夫2，说白了，就是人类至今能找到的最大的无穷大——阿烈夫0表示数轴上实数点的数量；阿烈夫1表示数轴上点的数量；阿烈夫2表示平面上曲线的数量。你说平面上点的数量？用Piano曲线做平面到数轴的映射可知数量为阿烈夫1。事实上，用高维Piano分形曲线，任意维几何体（无论有限无限）的点的数量都是阿烈夫1。同理，任意区间（无论有限无限）上有理数的数量都是阿烈夫0。至今没有任何无穷大能大过阿烈夫2，所以场论中路径积分出现阿烈夫2这个因子就说明——它发散定了。
上面这个证明是在非微扰的情况下完全从概念出发来的估算，不算是严格证明。
于是就在想，在微扰下情况是否会两样？或者说，能否从微扰的情况回过头来给出非微扰下的严格证明？
这又牵扯到另外一个问题，就是事实上微扰展开是有条件的，就和高数里面的收敛半径一样。场论里面展开并没有判断对应的收敛半径（当然，有人说QCD有问题的原因就是g近似1所以太强了，不适合用微扰）。同样的，在重整化以后给出三个重整化参量的时候，又是在不考虑求和量是否小于收敛半径的情况下“强行”使用求和公式。
所以，简单说来，场论路径积分的发散可能有三个来源：
1，路径积分中场构形的阿烈夫2因子——这是估算的；
2，微扰展开失效——这也是可以估算的，这也是这次主要做的事情；
3，圈积分发散——这个无法避免。
所以，先要查看一下微扰展开到底情况如何。
以phi^4理论为例，它在n个顶点下的图和n+1个顶点下的图是存在简单的图拓展关系的。
n顶点的图通过线拓展和点拓展可以给出n+1顶点的图，而且是给出所有n+1顶点的图。在考虑允许非连通图的情况下，将还会有真空拓展——也就是引入一个8型真空涨落子图。
线拓展很容易，就是从一型传播子变成Ω型传播子，点拓展则是从X型顶角变成XX型双顶角。
在考虑具体的对称性因子以前，这么做将得到很不错的结果：
所有拓展都会含有圈积分（线拓展下是二次发散，点拓展下是对数发散），而且都含有原本的线或者点上的动量传播子，而由于在考虑不可约单联通图（1PI）的时候只对内线做拓展，所以都需要在整个动量空间做积分，所以上述所有内容都可以被平均掉，从而对于线拓展出现一个二次型发散的因子B，而对于点拓展则出现一个对数发散的因子A。在具体考虑对称性因子以前，n+1顶角图的数量和n顶角图的数量是有很简单的关系的：F(n+1)=nF(n)+(2n-e/2)F(n)，这里两个因子可以通过很简单的图论和拓扑来得到。
这样，代入微扰展开式我们会发现，收敛半径为1/(3λ)，也就是说当A或者B大于1/(3λ)的时候，级数求和发散。这是又微扰展开这个方法本身所决定的发散。
没事，现在可以将级数在小于收敛半径的时候求和，然后延拓到大雨收敛半径的情况。此时得到一个很有意思的非微扰结果：两点传播子为1/(k^2-m^2)(1-λ(3A+2B))^(2B/(6A+4B)-1)
考虑到A是对数发散，B是二次型发散，所以指数因子最后可以确定为-1/2。
有意思的地方就在这里：λ(3A+2B)。它就提供了重整化在这个估算模型下的意义：相互作用顶角λ和发散的圈积分(3A+2B)一起，构成了一个因子，所以这里的λ必然是裸量，而λ(3A+2B)必然要得到观测量，而这就是重整化所干的事情。
所以，打算把一个想到很有意思的东西记下来——一大串想法的一部分，不是起点，更不是终点。
场论在数学上是很说不过去的，因为充满了发散。
记得某个人提过：场论的严禁性在数学上是没有被证明的东西，特别是路径积分。
上次在贴吧里写了一份东西，用简单地估算证明了场论路径积分会出现阿烈夫2个乘子，所以必发散——也就是说，同一个作用量会有阿烈夫2个不同的场构形与之对应，所以同一个作用量就需要乘上一个阿烈夫2，然后才能对作用量做积分，导致的结果就是必发散。这里说的是生成泛函。
所谓阿烈夫2，说白了，就是人类至今能找到的最大的无穷大——阿烈夫0表示数轴上实数点的数量；阿烈夫1表示数轴上点的数量；阿烈夫2表示平面上曲线的数量。你说平面上点的数量？用Piano曲线做平面到数轴的映射可知数量为阿烈夫1。事实上，用高维Piano分形曲线，任意维几何体（无论有限无限）的点的数量都是阿烈夫1。同理，任意区间（无论有限无限）上有理数的数量都是阿烈夫0。至今没有任何无穷大能大过阿烈夫2，所以场论中路径积分出现阿烈夫2这个因子就说明——它发散定了。
上面这个证明是在非微扰的情况下完全从概念出发来的估算，不算是严格证明。
于是就在想，在微扰下情况是否会两样？或者说，能否从微扰的情况回过头来给出非微扰下的严格证明？
这又牵扯到另外一个问题，就是事实上微扰展开是有条件的，就和高数里面的收敛半径一样。场论里面展开并没有判断对应的收敛半径（当然，有人说QCD有问题的原因就是g近似1所以太强了，不适合用微扰）。同样的，在重整化以后给出三个重整化参量的时候，又是在不考虑求和量是否小于收敛半径的情况下“强行”使用求和公式。
所以，简单说来，场论路径积分的发散可能有三个来源：
1，路径积分中场构形的阿烈夫2因子——这是估算的；
2，微扰展开失效——这也是可以估算的，这也是这次主要做的事情；
3，圈积分发散——这个无法避免。
所以，先要查看一下微扰展开到底情况如何。
以phi^4理论为例，它在n个顶点下的图和n+1个顶点下的图是存在简单的图拓展关系的。
n顶点的图通过线拓展和点拓展可以给出n+1顶点的图，而且是给出所有n+1顶点的图。在考虑允许非连通图的情况下，将还会有真空拓展——也就是引入一个8型真空涨落子图。
线拓展很容易，就是从一型传播子变成Ω型传播子，点拓展则是从X型顶角变成XX型双顶角。
在考虑具体的对称性因子以前，这么做将得到很不错的结果：
所有拓展都会含有圈积分（线拓展下是二次发散，点拓展下是对数发散），而且都含有原本的线或者点上的动量传播子，而由于在考虑不可约单联通图（1PI）的时候只对内线做拓展，所以都需要在整个动量空间做积分，所以上述所有内容都可以被平均掉，从而对于线拓展出现一个二次型发散的因子B，而对于点拓展则出现一个对数发散的因子A。在具体考虑对称性因子以前，n+1顶角图的数量和n顶角图的数量是有很简单的关系的：F(n+1)=nF(n)+(2n-e/2)F(n)，这里两个因子可以通过很简单的图论和拓扑来得到。
这样，代入微扰展开式我们会发现，收敛半径为1/(3λ)，也就是说当A或者B大于1/(3λ)的时候，级数求和发散。这是又微扰展开这个方法本身所决定的发散。
没事，现在可以将级数在小于收敛半径的时候求和，然后延拓到大雨收敛半径的情况。此时得到一个很有意思的非微扰结果：两点传播子为1/(k^2-m^2)(1-λ(3A+2B))^(2B/(6A+4B)-1)
考虑到A是对数发散，B是二次型发散，所以指数因子最后可以确定为-1/2。
有意思的地方就在这里：λ(3A+2B)。它就提供了重整化在这个估算模型下的意义：相互作用顶角λ和发散的圈积分(3A+2B)一起，构成了一个因子，所以这里的λ必然是裸量，而λ(3A+2B)必然要得到观测量，而这就是重整化所干的事情。
