弱紧致基数(位于马洛基数后)
k是弱紧致基数是指不可数且满足k → (k )。
所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lκ，κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。
前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。
首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。
也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：
1.κ具有分划性κ→(κ)22。
2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。??3.κ是强不可达基数且有数性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。
4.κ是超滤性质。
5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。
6.κ有Vκ可扩张性质。
7.κ有序性质。??8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：
弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：
Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数。

不可描述基数。
基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。
这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β<α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。

拉姆齐基数
让[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数， 基数κ实际上被称为Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
也就是，拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] <ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] <ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ < κ ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数，f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。
强拉姆齐基数:
一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的 m，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。
强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。
强基数
如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数
f:λ→λ存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M一个等效的定义是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的
超强基数
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M??类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。
Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
强紧致基数
当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数
如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ>δ, 存在Pδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足1:Pδ（λ）∩N∈U;
2:U∩N∈N，
就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。κ为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:V→M成为其临界点:λM⊆M.j(κ)>λ.
κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。
巨大基数
V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。
伊卡洛斯基数:
存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
完整性公理|3~|0
|3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。
|2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:V→M，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。
|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。
|0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点<λ公理。
也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。
以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF )中否定。

莱因哈特基数
莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.
在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。
这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。
这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。
为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
伯克利基数
Berkeley 基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：
对于包含k和α<k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a<临界点<K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的
j1，j2, j3...j1:(Vk,∈)→(VK,∈), j2：(VK,∈j1)→(Vk,∈,j1),j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈，j1，j2)等等。
这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。
因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。
超级莱茵哈特基数:
超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)>α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club:
基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M<M和crit j<k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α<k，都有一个j:M<M和α<crit j<k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j<K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α<crit j<k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y<k。
在大基数上我们已经走的很远了，但一些数学模型远比大基数大(不包括超级莱茵哈特基数和伯克利club，这俩比某些大)