设p是素数, 复数z满足z^p=1且z≠1, 对于正整数n, 无穷整数数列{a_n}(n≥1), 以及满足0≤i≤p-1的整数i, 设N_i(n)表示{a_n}前n项中模p与i同余的项的个数
当1≤i≤p-1时, 再设P_i(n)= ∑z^(i*a_m) (1≤m≤n), 则
∑ |P_i(n)|² (1≤i≤p-1) = ∑ |N_i(n)-N_j(n)|² (0≤i<j≤p-1)
由此可以推出以下两个结论等价
(1) lim N_0(n)/n = lim N_1(n)/n = … = lim N_(p-1)(n)/n = 1/p (n→∞)
(2) lim |P_1(n)|²/n² = lim |P_2(n)|²/n² = … = lim |P_(p-1)(n)|² / n² = 0 (n→∞)
当1≤i≤p-1时, 再设P_i(n)= ∑z^(i*a_m) (1≤m≤n), 则
∑ |P_i(n)|² (1≤i≤p-1) = ∑ |N_i(n)-N_j(n)|² (0≤i<j≤p-1)
由此可以推出以下两个结论等价
(1) lim N_0(n)/n = lim N_1(n)/n = … = lim N_(p-1)(n)/n = 1/p (n→∞)
(2) lim |P_1(n)|²/n² = lim |P_2(n)|²/n² = … = lim |P_(p-1)(n)|² / n² = 0 (n→∞)
