当h=1时, 对给定的H, 当i足够大时应该可以把有限制的τ(m,2^i)换成除数函数τ(m), 我求的是只要i≥(3+logH)/(2-log2)就充分了
反过来对给定的i和h, 如果左边换成τ(m), 当H足够大时总是不成立的

当h=1的时候可以用Mertens定理来说明
对给定的正整数集合S, 如果用τ'(m)表示d∈S且d|m的正整数d的个数, 那∑τ'(m)(m≤x)=∑[x/d](d∈S)
∑τ'(m)(x₁<m≤x₂) = ∑([x₂/d]-[x₁/d])(d∈S) ≤∑(x₂-x₁)/d + |S∩(0,x₂]| ≤(x₂-x₁)∑1/d + x₂
τ(m,2^i)对应的S={d | p+(d)≤2^i}, ∑1/d (d∈S) = ∏(p/(p-1)) (p为素数且p≤2^i)
按照Mertens定理可以推出对每个正整数N, 存在某个常数c使上式右边≤c*log(2^i) = (c*log2)i 对任意正整数i≥N都成立, 当N足够大时c可以取e^γ +ε (ε>0)
再取x₁=H*2^(i-1),x₂=H*2^i, 得到要证明的式子左边≤2^i*H*i* (c*log2/2) + 2^i*H
因为e^γ*log2/2 <0.62< 1, 所以存在正整数N使得对任意i≥N和任意H≥1, 原不等式左边≤2^i*H*[i*(c*log2/2)+1]≤2^i*H*i = 右边

被数论吧玩法吓晕