发现这个问题在mse上被提问过好几次, 解答好像都是用的Dirichlet定理或者Brun定理
https://math.stackexchange.com/questions/1955697

在上面那个帖子里面找到了一个不一样的解答, 是用P.Erdos在1935年用初等方法证明的一个定理 (过程一点都不简单) :
对正整数d>1, 用sigma(d)表示所有小于d且不整除d的素数的倒数和, 若sigma(d)<1,则对任意z>d/[(d-1)(1-sigma(d)], 都存在正数c, 使得对任意x>=c与任意与d互素的整数a, 都存在素数p满足p≡a(mod d)且x<p<zx
https://www.renyi.hu/~p_erdos/1935-10.pdf
d=15是满足条件的, 由此可以推出模15时的狄利克雷定理成立. P.Moree在1993年证明了这样的d只有有限多个,其中最大的是d=840,包括d=1在内共有55个,列在oeis A295585
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0898122193900713?via%3Dihub