点斜式来算呗

(1)如图所示的位置情况下，线段左边记为A，线段右边记为B，连接零点C(1,0)和线段两端，由于这是一个钝角三角形，因此AB < AC，如果线段的一端在x轴上也是同样的道理，总之想要最大长度，线段的一端必须(1,0)上(如果是对称情况道理类似)。我们取线段的一端在(1,0)上，即B=C，另外一端记为(x, 3x^2 - 3)，
则AB^2 = (x-1)^2[1+9(x+1)^2]，求导数得：2(x-1)[1+9(x+1)^2] + (x-1)^2[18(x+1)] = (x-1) [2+18(x+1)^2+18(x^2-1)]
令导数为0，可得：x = 1, 或x = -[sqrt(7)+3]/6, 或[sqrt(7)-3]/6
应该选x = -[sqrt(7)+3]/6即可求出AB的最大长度。
(2)设直线是y=kx+b，由于斜率k是常数，所以面积大小正比于-b|x1-x2|，平方的后可以得到b的三次函数，求导可得极值点的b，进而求出最大面积。

第一问直接算就行，不需要技巧，有一个点肯定抛物线与x轴的交点，然后联立方程组，韦达定理和弦长公式就算出来了

轻松，高考送分题。

第二问就联立，求根公式横坐标差Δ/a，乘纵截距绝对值/2

第一问，任何直线与抛物线交于A，B两点，抛物线焦点P（0，-35/12）（口算不保准），AB≤AP+BP，所以AB最大时就是AB直线过焦点P，然后算A，B纵坐标与直线y=-37/12的距离，其实就是求y1+y2，所以该联立韦达了，然后求极值，结束

猜测需要过X轴交点，这样可以求出来。

有约束边界，有目标函数，直接拉格朗日

如果是初中解答，第一问的话，最长线段，其中一个点肯定过（1，0）或者（－1，0），就拿（1，0）来讲，设这条直线的方程为①y=kx－k，联合c的方程可得另外一个交点为A点（k/3－1，k²/3－2k），接下来是重点，设直线②的斜率为直线①的－1/k，也就是①和②垂直，且经过A点（k/3－1，k²/3－2k），可得直线②的方程为y=（－1/k）x+2k²/3－1/k－2k，接下来也是重点，这条直线②必须要在上面那个交点处刚刚好与抛物线c相切，因为不能用导数，所以只能把直线②和抛物线c联立方程，有且只有一个解，且解为直线①和抛物线c的交点。最后得出k=（3±√7）/2，这两个k，其中一个是以（1，0）为定点的最大值，另一个是则是最小值。可得出A点坐标为[（√7）－3]/6，[（3√7）－10]/6，最后坐标差勾股定理得出答案，不过这个答案有双根号，不是初中的内容，也可能我算错了

我觉得你只是在问你的作业（

1/3,35/72sqrt (k^2-1)

思路大概是这样但是可能会计算出错见谅

一个问，在一个区域里面存在的最长线段，这种存在性问题不太好证明吧。

这对吗