调飞龙你的题
n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 + p(n) \ (n-2) + q(n-6)(n-8) = 0
其中p(n) 和 q(n) 是关于 n 的多项式。
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证明:首先注意到, n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 是一个六次多项式。而 p(n) \ (n-2) 和 q(n-6)(n-8) 都是多项式,它们的次数取决于 p(n) 和 q(n) 的次数。
我们可以假设 p(n) 和 q(n) 的次数分别为 k1 和 k2 ,那么p(n) \(n-2) 的最高次项就是k1 + 1,而 q(n-6)(n-8) 的最高次项是 k_2 + 2 。
由于 n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1是六次多项式,如果 k1 + 1 ≤6 和k2 + 2≤6 ,那么整个表达式的最高次项仍然是六次。
而另一方面,根据代数学基本定理,一个次数为 d 的多项式方程最多有 d个根。因此,这个六次多项式方程最多有六个整数解。
综上,由于该方程是一个六次多项式方程,即它最多只能有有限多个整数解。(完)
n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 + p(n) \ (n-2) + q(n-6)(n-8) = 0
其中p(n) 和 q(n) 是关于 n 的多项式。
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证明:首先注意到, n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 是一个六次多项式。而 p(n) \ (n-2) 和 q(n-6)(n-8) 都是多项式,它们的次数取决于 p(n) 和 q(n) 的次数。
我们可以假设 p(n) 和 q(n) 的次数分别为 k1 和 k2 ,那么p(n) \(n-2) 的最高次项就是k1 + 1,而 q(n-6)(n-8) 的最高次项是 k_2 + 2 。
由于 n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1是六次多项式,如果 k1 + 1 ≤6 和k2 + 2≤6 ,那么整个表达式的最高次项仍然是六次。
而另一方面,根据代数学基本定理,一个次数为 d 的多项式方程最多有 d个根。因此,这个六次多项式方程最多有六个整数解。
综上,由于该方程是一个六次多项式方程,即它最多只能有有限多个整数解。(完)