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IP属地:湖北来自Android客户端1楼2025-01-19 17:17回复
    调飞龙你的题
    n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 + p(n) \ (n-2) + q(n-6)(n-8) = 0
    其中p(n) 和 q(n) 是关于 n 的多项式。
    ==========
    证明:首先注意到, n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 是一个六次多项式。而 p(n) \ (n-2) 和 q(n-6)(n-8) 都是多项式,它们的次数取决于 p(n) 和 q(n) 的次数。
    我们可以假设 p(n) 和 q(n) 的次数分别为 k1 和 k2 ,那么p(n) \(n-2) 的最高次项就是k1 + 1,而 q(n-6)(n-8) 的最高次项是 k_2 + 2 。
    由于 n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1是六次多项式,如果 k1 + 1 ≤6 和k2 + 2≤6 ,那么整个表达式的最高次项仍然是六次。
    而另一方面,根据代数学基本定理,一个次数为 d 的多项式方程最多有 d个根。因此,这个六次多项式方程最多有六个整数解。
    综上,由于该方程是一个六次多项式方程,即它最多只能有有限多个整数解。(完)


    IP属地:广东2楼2025-01-24 16:58
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      如果我没意会错,你的方程是:
      n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 + p * n * (n-2) + q * (n-6) * (n-8) = 0,p和q是整数
      展开它,注意到:
      一. p * n * (n-2) 的展开:
      p * n * (n - 2) = p * (n^2 - 2n)
      这个部分贡献了二次项 p * n^2 和一次项 -2p * n。
      二. q * (n-6) * (n-8) 的展开:
      q * (n-6) * (n-8) = q * (n^2 - 14n + 48)
      这个部分贡献了二次项 q * n^2,一次项 -14q * n 和常数项 48q。
      ========
      归纳整理:
      方程中的常数项只有来自于 q * (n-6) * (n-8) 的部分,因为 p * n * (n-2) 是关于 n 的多项式,不包含常数项。
      在 q * (n-6) * (n-8) 展开中,常数项是 48q。
      另外,方程中的常数项 1 也是显而易见的。
      因此,整个方程的常数项就是:
      1 + 48q
      为了使方程成立,常数项必须为零,即:
      1 + 48q = 0
      解得:
      q = -1/48
      由于 q 必须是整数,而 -1/48 不是整数,与题设矛盾。方程不可能成立。


      IP属地:广东3楼2025-01-25 00:40
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