极度dèr影响观感！
下不为例
敬告(构)
dér图片不摆正封禁一天唉
下不为例
...。。，，
大部分开窍qiou个人nin
都会in用wolframalpha
输入series，arcsinhx唉。
LNX≠inx。mathdf勿信弹窗：
integral-calculator,,,
maple超级计算器(勿氪)
symbolab(勿氪)。
。。
...,,,

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根据问题中的积分表达式和假设修正后的结构，积分结果如下：
\[
\int_{-\pi}^{\pi} e^{-\frac{1}{x}} \left( \text{ky} + A_0 \left( \sin(\omega t) + r \sin(\alpha) \sin(2\omega t) \right) \right) \, dt = 2\pi \cdot \text{ky} \cdot e^{-\frac{1}{x}}
\]
**步骤解析：**
1. **分离常数因子**：由于 \(e^{-1/x}\) 不含积分变量 \(t\)，可提出积分外：
\[
e^{-\frac{1}{x}} \int_{-\pi}^{\pi} \left( \text{ky} + A_0 \sin(\omega t) + A_0 r \sin(\alpha) \sin(2\omega t) \right) dt
\]
2. **逐项积分**：
- **常数项**：\(\int_{-\pi}^{\pi} \text{ky} \, dt = 2\pi \cdot \text{ky}\)
- **奇函数项**：\(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\omega t) \, dt = 0\)（对称区间，奇函数积分结果为零）
- **奇函数项**：\(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(2\omega t) \, dt = 0\)（同理）
3. **合并结果**：
\[
e^{-\frac{1}{x}} \left( 2\pi \cdot \text{ky} + 0 + 0 \right) = 2\pi \cdot \text{ky} \cdot e^{-\frac{1}{x}}
\]
**最终答案：**
\[
\boxed{2\pi \, \text{ky} \, e^{-\frac{1}{x}}}
\]

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