1、 设锐角三角形△ABC的外心为O，过A作BC的高，垂足为P，且∠BCA≥∠ABC+300.求证：∠CAB+∠COP<900.
2、 对所有正实数a、b、c，求证：
3、21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛.
（1） 每一个参赛者至多解出了6道题；
（2） 对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出.
求证：有一道题，至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.
4.设n为奇数，且大于1，k1, k2,… ，kn为给定的整数，对于1，2，…，n的n!个排列中的每个排列a=(a1,a2,…an).记 .求证：有两个排列b和c,b≠c,使得S(b) – S©能被n!整除.
5、在△ABC中，AP平分∠BAC,交BC于P，BQ平分∠ABC,交CA于Q.已知∠BAC=600且AB+BP=AQ+QB.问△ABC各角的度数的可能值是多少？
6、设a,b,c,d为整数，a>b>c>d>0,且ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).求证：ab+cd不是素数.
2、 对所有正实数a、b、c，求证：
3、21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛.
（1） 每一个参赛者至多解出了6道题；
（2） 对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出.
求证：有一道题，至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.
4.设n为奇数，且大于1，k1, k2,… ，kn为给定的整数，对于1，2，…，n的n!个排列中的每个排列a=(a1,a2,…an).记 .求证：有两个排列b和c,b≠c,使得S(b) – S©能被n!整除.
5、在△ABC中，AP平分∠BAC,交BC于P，BQ平分∠ABC,交CA于Q.已知∠BAC=600且AB+BP=AQ+QB.问△ABC各角的度数的可能值是多少？
6、设a,b,c,d为整数，a>b>c>d>0,且ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).求证：ab+cd不是素数.
