叠甲
本人理论水平较差，因此本文的思路是用尽量少的公式简单阐述相变相关的知识，行文会偏通俗而非严谨。
关键词：逻辑不通 民科 暴论

态和相，有何异同？
这两个词分别对应英语的state和phase。前者是我们在初中学的固、液、气，它们之间的主要区别是分子之间的距离；后者则是一种更细致的划分。一般认为，分子均匀分布的、具有均匀的物理和化学性质的物质处于一个相。
相比于“态”，“相”还需要物理性质的相同。因此，在同一种物态里，也可以存在很多种不同的相。比如绝缘体、导体、超导体，又或是顺磁体、铁磁体、反铁磁体，都可以在“固态”这一种物态里出现。同处于固态的它们，分子间的距离不会有本质的区别，所以物理性质的不同可能来源于不同的微观相互作用，或者是不同的环境条件。
从一个相变换到另一个相的过程，就是相变。

此路不通
很多对物理感兴趣的同学都有一种美好的幻想：我们可以从粒子之间的相互作用开始，自下而上地构建整个世界的物理规律。遗憾的是，这么做一般比较困难，很多时候也没有必要。
铁磁相变就是一个很好的例子。即使是最“简单”的Ising模型（指自旋只在z方向有自由度），也只有在二维能得到精确解 [1]。80年过去了，我们生活的三维空间里还是找不到它的解。
这个模型的哈密顿量并不复杂，也很直观：

<i,j>的意思是我们只考虑相邻自旋的相互作用，它们的能量是J。如果没有磁场B的话，它看起来就更简单了。然而，随着维数d的增加，这个体系会变得越来越复杂。每一个自旋都有2d个邻居，而总自旋数来到了惊人的N=(L/a)^d。这个系统有2^N种可能的排布，所以精确对角化相当困难。
一个数目庞大对象构成的系统，其宏观性质往往适合用统计的方法来研究。在微观求解困难重重时，统计力学就成了自然的选择。

Landau相变理论
既然微观的相互作用很难求解，不如写下一个宏观的等效哈密顿量作为近似。这就是Landau-Ginzburg哈密顿量。它每一项的系数都是由微观相互作用决定的，但是我们选择不去深究其来源。

这里的是m(x)将原本以格点分布的磁化m进行平均得到的磁化场，它的其中一个好处是可以将当作连续变量处理。这样一来，我们就可以挑战配分函数了（对所有m(x)状态的求和写成了积分的形式）：

不幸的是，这还是太难了。于是我们再下一剂猛料，只算最有可能的，并坚持认为它的值应该和答案差不了太多（saddle-point approximation）。
幸运的是，最有可能的情况就是m(x)=m，处处相同（因为这样梯度那一项就是0了）。这磁化场也便成了平均场。如此一通近似之后，终于可以算出自由能了。

从图中可以看出，从t>0到t<0，系统的基态从m=0变成了m=正负m。也就是说，随着t越过零点，这个系统会选择正/负m中的其中一个，有了自发的磁化，变成了铁磁体。在如此多的近似之后，我们居然成功地定性描述了从顺磁到铁磁的相变过程。
在这个过程中，系统的基态失去了Z2对称性（把自旋都翻转就不是这个基态了），但是哈密顿量还具备（翻转后的能量还一样）。这种现象叫做自发对称破缺，是Landau相变理论的核心。

涨落
假设m处处相同未免也太逊了……我相信这么想的人一定不少。于是我们可以试着在这个平均值附近增加小幅的涨落delta m，算出对自由能F和其他物理性质的修正。
不幸的是，这么一算果然出事了。热容的修正项在d小于等于4时会在t=0附近发散，生活在d=3世界里的我们无法置之不理。这个发散说明平均场理论无法描述t=0这个点周围的物理，需要另请高明。

临界现象
t=0这个点也叫临界点，它是顺磁体和铁磁体两个相的边界。既然这两个相有着不同的、均匀的物理性质，那么在这个相变的临界点所产生的任何一点变化，都应该能瞬间传遍整个物体（毕竟参数变一点就要进入另一个相）。用一句古话来形容很恰当，“牵一发而动全身”。
如果用一个长度来描述两点的相互关联能维持多远，那么这个长度在临界点就应该是正无穷。这么一想的话，无论从哪个尺度来观察这个系统，它都应该具有相同的性质。这种尺度的不变性会让我们开始思考：不在临界点的系统具有这样的性质吗？如果不具有，它们会怎样变化？
这种改变尺度以观察系统性质的手段叫做重整化群，那么：

重整化群
重整化让我们得以从更广的尺度观察研究对象。但它并非像滚动鼠标滚轮缩小图片那样简单，而是在缩小的同时，将微观作用纳入其中。

图里展示了一个三角形格点的自旋系统。如果我们用一个新的自旋代替三个相邻自旋（新自旋的值由三个自旋中的多数决定），就会如右图显示一般，整个系统的尺度变为了原先的根号3倍。
在右侧更宏观的系统中，两个自旋A、B之间的相互作用，是由位于1、2、3的自旋间的相互作用决定的。在重整化的过程中，我们用某种方式计算了此相互作用的期望，得到新的相互作用系数。这往往也是重整化过程中最难的一步。
值得一提的是，这个过程是不可逆的。这些相互作用的具体信息已经在重整化的过程中丢失了。因此重整化其实并不具备群的性质，而应该是半群。
用公式表达的话，相互作用从左边的

，变成了右边的

。如此往复迭代，随着尺度增大，有些相互作用的系数会越来越小，有些则会越来越大。
实践发现，尽管我们可以在Landau-Ginzburg哈密顿量中写出很多项，但能在重整化过程中留下来的只是少数。也就是说，物质在临界点附近的临界现象，是由这留下来的少数项决定的。因此，即使物质的结构不同，产生的相变不同，只要在重整化过程中余下的项具有相同的性质，相变的临界现象就会有共性。由此回答了我们最开始的问题。

参考资料
Textbooks:
Mehran Kardar, Statistical Physics of Fields
Nigel Goldenfeld, Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group
Lecture Notes:
David Tong, Statistical Field Theory
Dmitry Abanin, PHY535 Lecture Notes

前排留名，看不大懂，大受震撼

大受震撼

这不是剑桥的网课么

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