Niven常数

o3mini 用时1m3s

改进了一下，你看对不对

gemini的回答

对每个非负整数k, 将所有满足α(n)=k的正整数n组成的集合记为S[k], S[k]中不超过正实数x的元素组成的集合记为S[k, x]
类似这样子将所有满足α(n)≥k的正整数n组成的集合记为T[k], T[k]中不超过正实数x的元素组成的集合记为T[k, x]
对任意正整数n≥4, 设h=max{α(i)}(1≤i≤n), 则h≥2, 并且
∑α(i) (1≤i≤n) = ∑k*|S[k,n]| (0≤k≤h)
由于T[k+1,n]∪S[k,n]=T[k,n], T[k+1,n]∩S[k,n]=Φ, 所以|S[k,n]|= |T[k,n]| - |T[k+1,n]|, 则
∑k*|S[k,n]| (0≤k≤h) = ∑k*(|T[k,n]|-|T[k+1,n]|) (0≤k≤h)
= ∑k*|T[k,n]| (0≤k≤h) - ∑(k-1)*|T[k,n]| (1≤k≤h+1)
= ∑|T[k,n]| (1≤k≤h)
对任意正整数 a∈T[k,n], 都存在素数p满足p^k | a, 设不超过n的素数由小到大排列为p₁,p₂,…,p[h] (由n≥2可得h为正整数)
对任意1≤i≤h, 设集合t[i,k,n] = {a∈N| 1≤a≤n, p[i]^k | a}, 则 |t[i,k,n]|≤n/p[i]^k
又因为 T[k,n] = t[1,k,n]∪t[2,k,n]∪…∪t[h,k,n]
所以 |T[k,n]|≤∑|t[i,k,n]| (1≤i≤h)
≤n*∑1/p[i]^k (1≤i≤h) < n*[ζ(k)-1]
其中ζ(k) = 1+1/2^k+1/3^k+…是黎曼zeta函数
所以由恒等式∑[ζ(k)-1]= 1 (k≥2)可得
∑α(i) (1≤i≤n) = ∑|T[k,n]| (1≤k≤h)
< |T[1,n]| + n*∑[ζ(k)-1] (2≤k≤h)
< |T[1,n]|+n ≤ 2n
再检验n=1,2,3时结论也成立就可以了

lim [α(1)+α(2)+…+α(n)]/n (n→+∞) 叫作Niven常数, 它的值约为1.705211…