在环论中，如果两个元素 \(a\) 和 \(b\) 互素（即它们的最大公因子为该环的单位元），则意味着由 \(a\) 和 \(b\) 生成的理想 \((a)\) 和 \((b)\) 是互素的。这里，“互素”通常指的是这两个理想的交集仅包含零元，或者等价地，存在环中的元素 \(r_1\) 和 \(r_2\) 使得 \(ar_1 + br_2 = 1\)。
为了证明如果 \(a\) 和 \(b\) 互素，则存在 \(r_1, r_2\) 使得 \(ar_1 + br_2 = 1\)，我们可以采用如下步骤：
### 步骤 1: 定义理想
首先，考虑由 \(a\) 和 \(b\) 生成的理想 \((a)\) 和 \((b)\)，以及它们的和理想 \((a) + (b)\)。根据定义，\((a) + (b)\) 包含所有形如 \(ar_1 + br_2\) 的元素，其中 \(r_1, r_2\) 是环中的任意元素。
### 步骤 2: 应用理想互素的定义
既然 \(a\) 和 \(b\) 互素，那么 \((a) + (b) = R\)，这里 \(R\) 表示整个环。这意味着 \((a) + (b)\) 包含了环 \(R\) 中的所有元素，包括单位元 \(1\)。
### 步骤 3: 得出结论
因为 \(1\) 属于 \((a) + (b)\)，所以存在 \(r_1, r_2 \in R\) 使得 \(ar_1 + br_2 = 1\)。这正是我们要证明的结论。
这个证明利用了理想的基本性质和“互素”的定义。需要注意的是，这里的证明假设了 \(a\) 和 \(b\) 互素是指它们生成的理想互素，即它们的最大公因子是环的单位元。这种情况下，上述证明是成立的。
另外，您提到的“不同于整数环，不一定对任意 \(a, b\) 有 \(a = bq + r\)”，这是正确的。在一般的环中，我们没有除法的概念，因此也不能保证对任意两个元素都能进行类似整数环中的带余除法。但在证明 \(a\) 和 \(b\) 互素的情况下存在 \(r_1, r_2\) 使 \(ar_1 + br_2 = 1\) 时，我们并不需要依赖于带余除法，而是直接利用了理想和环的基本性质。
为了证明如果 \(a\) 和 \(b\) 互素，则存在 \(r_1, r_2\) 使得 \(ar_1 + br_2 = 1\)，我们可以采用如下步骤：
### 步骤 1: 定义理想
首先，考虑由 \(a\) 和 \(b\) 生成的理想 \((a)\) 和 \((b)\)，以及它们的和理想 \((a) + (b)\)。根据定义，\((a) + (b)\) 包含所有形如 \(ar_1 + br_2\) 的元素，其中 \(r_1, r_2\) 是环中的任意元素。
### 步骤 2: 应用理想互素的定义
既然 \(a\) 和 \(b\) 互素，那么 \((a) + (b) = R\)，这里 \(R\) 表示整个环。这意味着 \((a) + (b)\) 包含了环 \(R\) 中的所有元素，包括单位元 \(1\)。
### 步骤 3: 得出结论
因为 \(1\) 属于 \((a) + (b)\)，所以存在 \(r_1, r_2 \in R\) 使得 \(ar_1 + br_2 = 1\)。这正是我们要证明的结论。
这个证明利用了理想的基本性质和“互素”的定义。需要注意的是，这里的证明假设了 \(a\) 和 \(b\) 互素是指它们生成的理想互素，即它们的最大公因子是环的单位元。这种情况下，上述证明是成立的。
另外，您提到的“不同于整数环，不一定对任意 \(a, b\) 有 \(a = bq + r\)”，这是正确的。在一般的环中，我们没有除法的概念，因此也不能保证对任意两个元素都能进行类似整数环中的带余除法。但在证明 \(a\) 和 \(b\) 互素的情况下存在 \(r_1, r_2\) 使 \(ar_1 + br_2 = 1\) 时，我们并不需要依赖于带余除法，而是直接利用了理想和环的基本性质。
