以前出现过的，直接用面积法方便。

等面积法，三角形CAG、CBH一组，CAH、CBG一组面积相等，再用面积等于1/2absinc，得出CA*CG＝CH*CB和CA*CH等于CG*CB，所以俩外边和俩内边都相等

对于初三来说，如果知道一般三角形求面积的公式就能做，不知道则在初中范围做不了。
作CD垂直于AB，则S三角形CAH=S三角形CBH=1/2*AG*CD。
又因为 角ACG=角BCH，
所以 sinACG=sinBCH。
又因为S三角形CAH=1/2*CA*CG*sinACG，
所以CA*CG=CB*CH。
由等量代换知：
角ACH=角BCG。
再由面积公式知：
CA*CH=CB*CG。
所以AC=BC，CG=CH。

考虑做∠GCH的角平分线交AB于O，AC也是∠ACB的角平分线
假设AC和BC不等，不妨设AC>BC;=>AO>OB=>GO>OH=>CG>CH;
AC*CG>BC*CH;这和△ACG和△BCH面积相等矛盾。

自己作个等腰三角，显然符合题意，再任意延长为非等腰三角显然不符合

初中学过三角函数吗，学过就可以用角表示面积就能做，如果没学过就不是初中题

平移，利用圆内接梯形必为等腰梯形

不妨设AC长度小于BC，作角C的平分线交AB于点O，以CO为对称轴作A在BC上的对称点A‘，连结OA'交CH于G’，易得G'是G关于CO的对称点。分别作C在AO和A'O上的垂线，易得两垂线也关于CO对称，长度均为h。

前面应该还有一句是等边三角形，不然咋证明

个人认为5楼方法是最好的，我补充共圆的做法

平移，共圆，推等腰梯形，与14楼一样

这不就是三角形的普通旋转吗？还是需要做些辅助线的。思路如下:将三角形ACH逆时针旋转X度，得到三角形A'CH'，CA'必定与CG共线，CH'必定与CB共线。到这一步，后面应该就结束了。楼主自己画图做辅助线吧，脑补起来有些过载。