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关于排列组合我有一些疑问

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以下八种题型中,前四种我能理解了,但后四种不太理解。它们是关于元素分配给对象的问题。
1、相同球,分给相同盒子,无空盒。
2、相同球,分给相同盒子,有空盒。
3、相同球,分给不同盒子,无空盒。
4、相同球,分给不同盒子,有空盒。
第一和第二种题型,只需要枚举即可。第三和第四种题型则需要用隔板法。
但接下来的四种题型,我不太理解。
5、不同球,分给相同盒子,无空盒。
6、不同球,分给相同盒子,有空盒。
7、不同球,分给不同盒子,无空盒。
8、不同球,分给不同盒子,有空盒。
我该如何用乘法原理的角度,去理解后四种题型?


IP属地:上海1楼2024-11-29 14:35回复
    比如第五种的题型
    8个不同的球,分给3个相同的盒子,要求每个盒子都要有至少一个球,请问有多少种方法?
    我能够理解第一步,8分成5种情况相加,(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3)
    那么每一种情况的具体数量是多少?我不理解的是如何用乘法原理,对每种情况进行分步。


    IP属地:上海2楼2024-11-29 14:38
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      2025-06-26 18:09:23
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      用(1,1,6)举例
      首先,c(8,1)取一个球放入一个盒子
      再,c(7,1)取一个球放入一个盒子
      再,c(6,6)取六个球放入一个盒子
      最后,结果除以2,因为盒子相同,所以第一步和第二步会重复计算一遍
      因此,最后结果是c(8,1)×c(7,1)×c(6,6)÷2


      IP属地:上海3楼2024-11-29 15:33
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        5和6的思路是一样的,最多就是多考虑几个大情况
        比如(1,7,0),(8,0,0)这种
        7、8就是没有5,6的最后一步,也就是考虑盒子是否相同


        IP属地:上海4楼2024-11-29 15:34
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          5对应的是第二类斯特林数S(n,m)。没法使用乘法公式。因为每种状态的计数不是同一个。比如你给的例子中(1,1,6)和(1,2,5)的计数分别是C(8,2)=28和C(8,1)C(7,2)=168.
          6是一组斯特林数的求和
          分非空盒有1到m个求和
          7,8先按5,6计算。,然后给盒子贴标签各乘以m!


          IP属地:北京来自Android客户端5楼2024-11-30 09:04
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            比如5个不同球放进3个不同的盒子,别人说方法总数是3的5次方,因为每一个球有三种选择。但对于一个球而言,它可不可以一个盒子都不放?那这样的话球不就有四种选择了吗?


            IP属地:上海来自iPhone客户端6楼2024-11-30 14:55
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