9498 定圆轨迹

.延长BI1,CI2可得内心J，P是J关于△AI1I2的等角共轭点，于是AP= p-a，即（b+c-a)/2，X,Q,Y分别是I1,J,I2在BC上的射影，易证XQ=DY,于是通过相似可得∠I1QI2=90°，进而PQDI1I2五点共圆，易得△PI1I2≌△QI1I2，于是I1I2垂直平分PQ，PQ中点设为M，取O,N分别是AQ,IM中点，则ON垂直平分IM于是,OI=OM=AP/2=(p-a)/2=(b+c-a)/4，这里Q是内切圆与BC的切点，O显然是定点。
故I在定圆○（O,(p-a)/2）上

双曲线.

熟知结论纯导角

*熟知 I1I2 连线包络一个以A为焦点的双曲线，所以A在切线上的垂足轨迹是其辅助圆
——
*对于熟知的证明：设AD交I1I2于U。考虑△ABD,△ACD的两个内切圆，一条内公切线是AD，设另一条内公切线交BC于V，则直线AU,UV关于I1I2对称。
由于四边形BAUV和CAUV都有内切圆，
AB-BV = AU - UV = AC-CV
所以V是内切圆在BC处的切点，且B,U,C同在以A,V为焦点的一个双曲线上。
最后，由光学性质，U处双曲线切线是∠AUV的角平分线，即I1I2，证毕。

好题！