事实上也不是什么课题..好玩罢了..

首先:感谢“槛外→孩￠”提出这个问题让我觉得有必要十分蛋疼的写下这篇帖子..存一下十分有趣的东西..
再次:我是无聊才写这个的..
还有:..本贴作为资源..高手无视之..比如那啥天马酱的我神马也不说..

1.我们在做题的过程中，知道有这样一个性质..
对于抛物线y^2=2px.对顶点O,做互相垂直的两条弦OA,OB.连结AB，易证直线AB过定点(2p,0).
证明：
引理:直线l:ax+by=c(c≠0)与圆锥曲线Γ:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0的两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2).则P,Q满足齐次方程
Ax^2+Bxy+Cy^2+(Dx+Ey)*(ax+by)/c+F[(ax+by)/c]^2=0.
回到原题：
对于直线AB：ax+by=1,由引理得齐次方程:y^2=2px(ax+by),令t=y/x,得t^2-2bpt-2ap=0,从而由题设,t1*t2=-1,得a=1/2b.所以AB:x/2p+by=1过定点(2p,0).


2.我们在追求数学的完美性的同时，会容易想到若不是从顶点做弦，而是从任意一点作弦，又会如何？
对于抛物线y^2=2px.对曲线上点M(x0,y0),做互相垂直的两条弦MA,MB.连结AB，证:直线AB过定点(x0+2p,-y0).
证明:(抄袭天马酱..我就不重新输入了..)
A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb),M(2pm^2,2pm).
（注：参数方程设法..具备完备性..不懂的度娘维娘随便你..）
(m^2-a^2)(m^2-b^2)+(m-a)(m-b)=0
（注：向量点积为0，不懂你拿刀来捅我..）
==>(m+a)(m+b)=-1
（注：展开化成(m^2+1)+(a+b)m+ab=0）
==>AB:x-(a+b)y+2pab=0过定点(2p(m^2+1),-2pm).
（注：目测当x=2p(m^2+1),y=-2pm时，(m^2+1)+(a+b)m+ab=0与x-(a+b)y+2pab=0等价恒成立..）

回复：5楼
配张图..


3.于是我们很容易想到，对于一般的圆锥曲线呢？
有结论：（直角弦定理）过圆锥曲线上一点作两互相垂直的弦另两点的连线过定点.
特别的，设曲线上的点(x0,y0).
对于椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0),
连线过定点(x0*e^2/(2-e^2),y0*e^2/(2-e^2)).
对于双曲线(x/a)^2-(y/b)^2=1(a>0,b>0),
连线过定点(x0*e^2/(2-e^2),y0*e^2/(2-e^2)).
对于抛物线y^2=2px(p>0),
连线过定点(x0+2p,-y0).
自己去证明，我没那闲心..

4.我们可以换成是关于a,b的形式..就像抛物线的定点是关于p的.
对于椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0),
连线过定点((a^2-b^2)x0/(a^2+b^2),-(a^2-b^2)y0/(a^2+b^2))
对于双曲线(x/a)^2-(y/b)^2=1(a>0,b>0),
连线过定点((a^2+b^2)x0/(a^2-b^2),-(a^2+b^2)y0/(a^2-b^2))
当双曲线为等轴双曲线，即a=b时，PQ有定向,平行于定直线y=-(y0/x0)x.

5.我们能够想到,如果不是直角的话会有什么性质呢？
能够证明这样的性质:
圆锥曲线(包括圆)的半曲线上的周角(或直径所张角)两边斜率（斜率存在）之积为定值.
例如：
对于圆x^2+y^2=r^2.直径所张角的两边斜率乘积为-1（垂直你懂的..）
对于椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0),直径所张角的两边斜率乘积为-b^2/a^2
对于双曲线(x/a)^2-(y/b)^2=1(a>0,b>0),直径所张角的两边斜率乘积为b^2/a^2
对于抛物线y^2=2px,直径所张角的两边斜率乘积为0.
注：二次曲线 平行弦 的 中点 的 轨迹 叫做 这二次曲线的直径。

6.有必要补充一点儿关于二次曲线直径的东西..
定义:二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所以对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦，而直径也叫做共轭于平行弦的直径．
定理:二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线．
推论:如果二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦的直径方程是
                     F1(x,y)+kF2(x,y)=0


7.我们来想象一下..给定闭合四边形能否求过顶点的圆锥曲线..
事实上：
若直线AB的方程为F1(x,y)=0
若直线BC的方程为F2(x,y)=0
若直线CD的方程为F3(x,y)=0
若直线DA的方程为F4(x,y)=0
则方程F1(x,y)*F3(x,y)+ λ F2(x,y)F4(x,y)=0
表示过ABCD四点的二次曲线方程(λ为参数).

8.以前被虐过的一个通过行列式硬算出来的性质..
圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比为A,则
椭圆形圆锥曲线0<A<2
抛物线型圆锥曲线A=2
双曲线型圆锥曲线A>2.

9.4楼的引理有必要单独拿出来提一下，很重要..
                        直线l:ax+by=c(c≠0)
                    圆锥曲线Γ:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
                      两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2).
                           P,Q满足齐次方程
            Ax^2+Bxy+Cy^2+(Dx+Ey)*(ax+by)/c+F[(ax+by)/c]^2=0.

占时第一个课题就写这么多...

其次，这个东西也还是不错的..
http://wenku.baidu.com/view/9def834bcf84b9d528ea7af2.html