图文无关
我们知道，在ZFC下，基数k是可测基数当且仅当存在一个k上的k-完全非主超滤(记为U)，且该性质等价于存在一个传递真类M，使得k成为非平凡初等嵌入j:V→M的关键点
其中这一传递真类M是通过由U导出的V-超幂模型(记为N)的传递坍塌得到的。而这里所说的超幂模型是这样一个东西:
记f:k→∪V为k指标集k到V中元素的函数，定义等价关系≈为f≈g当且仅当{α∈k:f(α)＝g(α)}∈U，取{f:f:k→∪V}与U的商集，并定义∈*关系为[lbk]f[rbk]∈*[lbk]g[rbk]当且仅当{α∈k:f(α)＝g(α)}∈U，为了使得[lbk]f[rbk]成为一个可被操作的集合，我们定义[lbk]f[rbk]为那些与f等价的函数中秩最小的组成的集合
根据超幂模型的定义[lbk]f[rbk]∈*[lbk]g[rbk]当且仅当{α∈k:f(α)＝g(α)}∈U，我们可以通过复杂公式归纳法得到以下定理：
定理一：N满足φ([lbk]f1[rbk]、[lbk]f2[rbk]、[lbk]f3[rbk]...)当且仅当{α∈k:V满足φ(f1(α)、f2(α)、f3(α)...)}∈U
证明略
在任意不可数基数θ上，ω-完全的非主超滤或θ完全的主超滤都是普遍的，也就是说，由上述方法得到的超幂模型也是普遍的，并且我们可以证明
定理：对于任意集论模型M，存在它到其超幂N上的初等嵌入:
证明：对每一个M中元素α，定义指标集S到M的函数cα，使得{x∈S:cα(x)＝α}∈U，[lbk]cα[rbk]为cα的等价类。定义嵌入j:M→N，使得j(α)＝[lbk]cα[rbk]，对于任意带自由变元的公式φ(x)
假设N满足φ(j(x))，这等价于N满足φ([lbk]cx[rbk])，等价于{α∈k:Mα满足φ(x)}∈U，由于在此处所有的Mα都是M，且{α∈k:Mα满足φ(x)}∈U不为空集，因此等价于M满足φ(x)
也就是说，存在V到由某一无穷基数上超滤导出的V超幂的初等嵌入是一个普遍现象，而可测基数k特殊的地方在于两点:
1.导出的超幂是良基的，因此可以坍缩为传递的
2.从V到此超幂的初等嵌入是非平凡的，且以k为关键点
而要证明第一点，要求的是k上超滤U至少是ω1完全的
而要证明第二点，则要求k上超滤U不能是主超滤且是k完全的
定理:假设k上存在一个ω1完全的超幂U1，则由U1导出的V超幂中不含∈上的无穷降链
证明:假设它不是良基的，即存在无穷退链
...[lbk]fn+1[rbk]∈*[lbk]fn[rbk]∈*...[lbk]f1[rbk]∈*[lbk]f0[rbk]
根据超幂模型的定义 [lbk]f[rbk]∈*[lbk]g[rbk] 当且仅当 {x∈k:f(x)∈g(x)}∈U
那么对于任意自然数n，都可以取Xn＝{x∈k:fn+1(x)∈fn(x)}∈U
而由于U是ω1-完全的，则∩{Xn:n∈ω}仍然∈U，根据定义可知其中的任意x均见证了V中形如 ……∈fn+1(x)∈fn(x)∈……∈f1(x)∈f0(x) 的无穷降链
与V的良基性矛盾
定理:若存在V到由k上主超滤导出的V超幂的初等嵌入，则该嵌入是同构嵌入
证明:对于主超滤U，其必定包含某个单点集{a}，那么对于任意集合x，考虑函数f_x: k→V 定义为“把a映射到x，把其他东西映射到空集”，则x跟[lbk]f_x[rbk]的对应就是同构映射
根据定义，基于U生成的超幂模型中都是形如[lbk]f_x[rbk]的元素