最近在风体脑训练中玩尼姆博弈，有点心得，与大家分享交流一下。
规则：有N组数字，你和电脑轮流取数。每次只能选一组来取数，至少取一个数，最多可以取走整组数。最后取完全部剩余数的为胜利方。
我们不难发现，如果只有两组数（n,n），如果我们先取，不管我们取几个，最后都是电脑赢。我们把这种状态叫做平衡态。
进而我们可以猜想如果扩展到多组数，是不是也可以通过某种方式让这些数字达到一种平衡态。这样只要我们每次给对手留下的数字都是一种平衡态，我们就可以保持必胜。
证明过程略，直接说结论。
如果所有组数的二进制异或值为0，就是平衡态。
听不懂？那我说人话：
比如（3,5,7）三组数，我们把每组数都拆分成1+2+4+8+16……的形式，拆大不拆小，就是说能拆成8，你就不要拆成两个4。
这样（3,5,7）就拆成（2+1,4+1,4+2+1）。
我们数一下4有两个，2有两个，1有三个。我们让每个4，每个2，每个1都去配对，发现只有一个1没法配对，这样我们只要从含有1的组里把其中一个1拿掉就达到了平衡态。
比如从3中拿掉1，变成（2,5,7），这就是平衡态了。
也可以从5中拿掉1，或者从7中拿掉1，都是可以的，自己验证一下。
再举个例子：（2,11,12），拆成（2,8+2+1,8+4）。我们发现4和1都无法配对，那么我们就去找哪组数里含有无法配对的最大数，4和1无法配对，那我们就找那组数里含有4，第三组8+4里含有4。
然后重点来了，按照上面说的，如果4和1无法配对，那我们就需要在这组里拿掉4和1。但是这组里只有4，没有1，怎么办呢？我们的原则是：有就减去，没有就加上。这样第三组数就变成了8+4-4+1=9。
简单来说就是：
1、先确定无法配对的数：4，1
2、找到含有无法配对的最大数的组：8+4
3、让这些数8,4,4,1 重复的去掉，其余的加起来，就是这组需要变成的数。
如果你看懂了，我们继续加大难度：
我对于这种多组尼姆的方法：
1. 先找相同数，（a,a,b,b,c,c）这种显然是平衡态。所以我们先找出相同的数把他们过滤掉，看你运气了。本题D组和E组的两个3就消掉了。（3,3）=0
2. 其次找相邻数，2n和2n+1,也就是两数差1，奇大偶小，这样的两个数对对碰（异或）以后就是1。如果奇小偶大，那得拆开算。本题14和15就碰成1了。（14,15,3,3）=1
3. 再找相近数，多近算近，我的原则是以1,2,4,8,16,32,64……做间隔每个间隔内的两个数都可以叫相近数。本题（54,61）相近。一般的方法是拆成（32+16+4+2,32+16+8+4+1），但是对我来说在心里记忆这么多数字难度有点大，所以我投机取巧了一下，因为这两个数离63比较近，为什么要用63呢，因为63=32+16+8+4+2+1，即二进制的111111。所以我就比较这两个数和63分别差多少。
63-54=9=8+1
63-61=2
所以54和61就碰成了8+2+1。 再和上面的（14,15,3,3）=1相碰就可以得到 （14,54,15,3,3,61）=8+2
4. 还剩两个数22和39，我们先碰小的，为什么呢？你让前面碰剩下的8+2和22去碰，得到几，就把39变成几就可以了。但是如果你先用8+2和39碰，可能得到的数大于22，过程比较麻烦。22=16+4+2，和8+2一碰得到16+8+4，这样把39变成16+8+4=28就可以让本题达到平衡态。
轮到电脑：
第二轮之后，重点是你要看清电脑取走了哪一组的几个。这样我们就不需要把八组数重新计算一遍。而只需要看看电脑破坏了哪几个数的平衡态即可。
电脑从F组61拿走了45个，剩下16个。
就是32+16+8+4+1变成了16，变化的位数是32,8,4,1。
那我们就需要找到哪组数里含有32？只有B组54含有。那我们就按照前面的原则：有就减去，没有就加上。
54可以拆成32+16+4+2 -32+8-4+1 =27
然后电脑从E组拿走2个，相同组最好办，电脑拿几个，我们也拿几个，平衡态依旧。
我们D组取2，电脑E组取1，我们D组也取1。
电脑从B组27拿走7个，由16+8+2+1变成16+4，变化的数：8,4,2,1。
我们发现14和15里都含有8，选哪个呢？都可以。但是心算快的同学马上发现15=8+4+2+1，所以直接把15都拿走就可以了。这样这组就变成0。0越多题目难度就越低，而且游戏有时间限制，0越多游戏结束的越快。所以这种机会不要错过。当然你非要在A组拿走13个也未尝不可。
越往后题目就越简单，算起来就越快，我就不啰嗦了。
有人会说，我一时走神了，没看到电脑在哪组拿走了几个怎么办？那你就把现在的状态当成一道新题目重新做呗，
刚才写到相近数的间隔时，我马上找了个例子把自己这个想法给反驳了。
比如（15,31），这俩数不相近，但是（8+4+2+1,16+8+4+2+1）俩数一碰正好得16。
我们找相近数的目的就是碰出来的数好记，你说16好记呢还是一堆8,4,2,1好记？所以呢，这样的数对不是相近数，胜似相近数。
不要拘泥，要随机应变。手中无招，心中无招，方能克敌制胜。
规则：有N组数字，你和电脑轮流取数。每次只能选一组来取数，至少取一个数，最多可以取走整组数。最后取完全部剩余数的为胜利方。
我们不难发现，如果只有两组数（n,n），如果我们先取，不管我们取几个，最后都是电脑赢。我们把这种状态叫做平衡态。
进而我们可以猜想如果扩展到多组数，是不是也可以通过某种方式让这些数字达到一种平衡态。这样只要我们每次给对手留下的数字都是一种平衡态，我们就可以保持必胜。
证明过程略，直接说结论。
如果所有组数的二进制异或值为0，就是平衡态。
听不懂？那我说人话：
比如（3,5,7）三组数，我们把每组数都拆分成1+2+4+8+16……的形式，拆大不拆小，就是说能拆成8，你就不要拆成两个4。
这样（3,5,7）就拆成（2+1,4+1,4+2+1）。
我们数一下4有两个，2有两个，1有三个。我们让每个4，每个2，每个1都去配对，发现只有一个1没法配对，这样我们只要从含有1的组里把其中一个1拿掉就达到了平衡态。
比如从3中拿掉1，变成（2,5,7），这就是平衡态了。
也可以从5中拿掉1，或者从7中拿掉1，都是可以的，自己验证一下。
再举个例子：（2,11,12），拆成（2,8+2+1,8+4）。我们发现4和1都无法配对，那么我们就去找哪组数里含有无法配对的最大数，4和1无法配对，那我们就找那组数里含有4，第三组8+4里含有4。
然后重点来了，按照上面说的，如果4和1无法配对，那我们就需要在这组里拿掉4和1。但是这组里只有4，没有1，怎么办呢？我们的原则是：有就减去，没有就加上。这样第三组数就变成了8+4-4+1=9。
简单来说就是：
1、先确定无法配对的数：4，1
2、找到含有无法配对的最大数的组：8+4
3、让这些数8,4,4,1 重复的去掉，其余的加起来，就是这组需要变成的数。
如果你看懂了，我们继续加大难度：
我对于这种多组尼姆的方法：
1. 先找相同数，（a,a,b,b,c,c）这种显然是平衡态。所以我们先找出相同的数把他们过滤掉，看你运气了。本题D组和E组的两个3就消掉了。（3,3）=0
2. 其次找相邻数，2n和2n+1,也就是两数差1，奇大偶小，这样的两个数对对碰（异或）以后就是1。如果奇小偶大，那得拆开算。本题14和15就碰成1了。（14,15,3,3）=1
3. 再找相近数，多近算近，我的原则是以1,2,4,8,16,32,64……做间隔每个间隔内的两个数都可以叫相近数。本题（54,61）相近。一般的方法是拆成（32+16+4+2,32+16+8+4+1），但是对我来说在心里记忆这么多数字难度有点大，所以我投机取巧了一下，因为这两个数离63比较近，为什么要用63呢，因为63=32+16+8+4+2+1，即二进制的111111。所以我就比较这两个数和63分别差多少。
63-54=9=8+1
63-61=2
所以54和61就碰成了8+2+1。 再和上面的（14,15,3,3）=1相碰就可以得到 （14,54,15,3,3,61）=8+2
4. 还剩两个数22和39，我们先碰小的，为什么呢？你让前面碰剩下的8+2和22去碰，得到几，就把39变成几就可以了。但是如果你先用8+2和39碰，可能得到的数大于22，过程比较麻烦。22=16+4+2，和8+2一碰得到16+8+4，这样把39变成16+8+4=28就可以让本题达到平衡态。
轮到电脑：
第二轮之后，重点是你要看清电脑取走了哪一组的几个。这样我们就不需要把八组数重新计算一遍。而只需要看看电脑破坏了哪几个数的平衡态即可。
电脑从F组61拿走了45个，剩下16个。
就是32+16+8+4+1变成了16，变化的位数是32,8,4,1。
那我们就需要找到哪组数里含有32？只有B组54含有。那我们就按照前面的原则：有就减去，没有就加上。
54可以拆成32+16+4+2 -32+8-4+1 =27
然后电脑从E组拿走2个，相同组最好办，电脑拿几个，我们也拿几个，平衡态依旧。
我们D组取2，电脑E组取1，我们D组也取1。
电脑从B组27拿走7个，由16+8+2+1变成16+4，变化的数：8,4,2,1。
我们发现14和15里都含有8，选哪个呢？都可以。但是心算快的同学马上发现15=8+4+2+1，所以直接把15都拿走就可以了。这样这组就变成0。0越多题目难度就越低，而且游戏有时间限制，0越多游戏结束的越快。所以这种机会不要错过。当然你非要在A组拿走13个也未尝不可。
越往后题目就越简单，算起来就越快，我就不啰嗦了。
有人会说，我一时走神了，没看到电脑在哪组拿走了几个怎么办？那你就把现在的状态当成一道新题目重新做呗，
刚才写到相近数的间隔时，我马上找了个例子把自己这个想法给反驳了。
比如（15,31），这俩数不相近，但是（8+4+2+1,16+8+4+2+1）俩数一碰正好得16。
我们找相近数的目的就是碰出来的数好记，你说16好记呢还是一堆8,4,2,1好记？所以呢，这样的数对不是相近数，胜似相近数。
不要拘泥，要随机应变。手中无招，心中无招，方能克敌制胜。
