可以用第三类数学归纳法，证明哥德巴赫猜想
强哥德巴赫猜想：即任何大4的偶数都可以写成两个素数之和。
先做些解释：
（1）素数，该数只能被1和自己整除的数。
（2）素数对，即由两个相等或不相等的素数组成的数对。
（3）哥解：当我们找到一个素数对时，则该素数对之和为某个偶数，则可以说该偶数有哥解。
（4）哥解的等效解，某个偶数，若有多个哥解，则它们是等效的，因为它们的和是相等。从这个角度来说，哥解的多解问题就可以转化成单解，使问题化简。
例如：10=（5，5）=（3，7）=（7，3）；可以看成只有一个等效解。
（5）数对是组合，不是排列。所以（3，7）=（7，3）是等效的。
（6）数对的连续性？
定义：当数对(a,b)与(c,d),满足：(c+d)-(a+b)≡2时,则称数对(a,b)与(c,d)它们的关系可以说是连续的。
例如：（1，3）与（1，5）是连续的；（1，3）与（3，3）也是连续的。
我们还要用到另一种连续性，为了区分，暂叫同模下的自然连续性。
定义：当数对(a,b)与(c,d),满足：(c+d)-(a+b)≡0时,则称数对(a,b)与(c,d)它们的关系可以说是同模下自然连续的。这里模的概念是借用，不是mod()的本意。同模：是讨论问题时，指定mod(2n)。
例如：mod(4)有数对(1,3),(2,2)(3,1);
Mod(6)有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1);
Mod(8)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2),(7,1);
Mod(10)有(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)(6,4),(7,3)，(8,2),(9,1);
mod(12)有：
(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7)(6,6),(7,5)(8,4),(9,3),(10,2),(11,1);
mod(14)有：
(1,13),(2,12),(3,11),(4,10),(5,9)(6,8),(7,7)(8,6),(9,5),(10,4),(11,3),(12,2),
(13,1);
mod(16)有：
(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11)(6,10),(7,9)(8,8),(9,7),(10,6),(11,5),(12,4),
(13,3),(14,2),(15,1);
显然，mod(2n),共有数对的个数是：2n-1。它们从结构上讲是一个首尾相连的一个环。首项是（1，2n-1),尾项是（2n-1,1)。所以，要寻找其中的奇数对，可以从首项，（a1,b1),通过（a1+2,b1-2),进行有限次操作,找到奇数对(ai,aj);
如何寻找素数对？
方法一是，从任意的一对奇数对出发，进行对奇数对的两个元素，
进行同时加2，当进行有限次操作后，就能找到素数对。
为此，我们要先证明一个定理，暂叫素数对存在定理吧。
设有一个奇数对o(a,b); （a,b 可以相等或不相等）。
证明如下：
举例：o(1,1);经过1次+2 操作的结果是p(1+2,1+2)=p(3,3) 成立；
o(3,5);经过1次+2 操作的结果是p(3+2,5+2)=p(5,7) 成立；
o(13,13);经过1次+2 操作的结果是p(13+2,13+2)=p(15,15) 不成立；
继续，经过2次+2 操作的结果是 有p(15+2,15+2)=p(17,17)成立；
即经过2次+2，即有限次操作就能找到。
方法二是，从任意的一指定的偶数2N出发寻找其素数对，进行如下操作:
情况(A):
用2N÷2=N,若N是奇数,则有奇数对(N,N);如果N是素数,则寻找到哥解(N,N)。例如：2N=10：则有10÷2=5，则有奇数对（5，5），因为5经过计算得知是素数，所以找到哥解是（5，5）。再通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到第2个哥解：（5+2，5-2）=（7，3）。反过来，进行（a1-2,b1+2)则可以找到第3个哥解（5-2，5+2）=（3，7）。因为（5，5）=(7,3)=(3,7);
所以它们是等效哥解。
情况(B):
用2N÷2=N,若N是偶数，则有偶数对（N，N），经过调整（N-1，N+1)可成为奇数对（N-1，N+1)；如果N-1=p是素数，同时N+1=q也是素数;则有2N的哥解。即2N=p+q。
例如：2N=12：则有12÷2=6，则有偶数对（6，6）；经过调整
（N-1，N+1)即（6-1，6+1）=（5，7），也可以反过来调整（N+1，N-1)；即（6+1，6-1）=（7，5）。
情况(C):
用2N÷2=N,若N是偶数，则有偶数对（N，N），经过调整（N-1，N+1)可成为奇数对（N-1，N+1)，但是不是素数对。通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到哥解。
例如：2N=16：则有 16÷2=8，则有偶数对（8，8）；经过调整
（N-1，N+1)即（8-1，8+1）=（7，9）不是素数对。通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到哥解。即（7+2，9-2）=（9，7）不是素数对，续继进行 （9+2，7-2）=（11，5），即2次（a1+2,b1-2)操作，可以找到哥解。再操作一次（11，5）=（11+2，5-2）=（13，3），这是另一个哥解。如果对
（7，9）数对进行反方向操作（a1-2,b1+2)，则有（7，9）=（7-2，9+2）
=（5，11）=（5-2，11+2）=（3，13）。
所以，通过上述的算法。对于指定的2N，我们都能找到其对应的哥解。
对于素数来说，没有通项公式，因为其分布没有规律性，并且，其元素之间的间隔是散列的。所以给哥解的证明带来了巨大困难。但是，素数对的分布却是有连续性，所以，可以用第三类数学归纳法来证明。
对于素数的集合来说，其元素是没有或缺的，且有冗余的。例如：如果5不是素数，则12=(5,7)=(7,5)就不是哥解。哥猜就不成立。所以，5是不可或缺的。
素数的确认，到目前为止，只有一个方法，就是将该奇数进行乘法的因数分解后，再作出判定。所以，素数对也用该方法进行判定的。
有素数对存在定理：
证明：
假定从任一指定的奇数对o(a,b)，需要经过无穷多次+2操作，
才能找到素数对p(A,B)是正确的。
但是，有反例：o(3,5);经过1次+2 操作的结果是p(3+2,5+2)=p(5,7)；
与前面的假设矛盾。
所以，有素数对存在定理：从任意指定的一个奇数对o(a,b)出发，进行对奇对两个元素同时+2，当进行有限次操作后，就必定能找到一个素数对。成立。
下面我们来证明，素数对具有连续性。
大于2的最小素数是3，所以，最小的素数对是（3，3）。根据前述的连续性定义，其后续素数对是（3，5）或（5，3）。
现写出一段连续的素数对：（3，3），（3，5）=（5，3），（5，5）=（3，7），（5，7），（7，7）=（3，11），（5，11）=（3，13），
（5，13），（7，13），（11，11）=（5，17）=（3，19），
（5，19），（7，19）=（3，23）=（13，13），……
虽然，看起来不顺畅，但是，它们是连续偶数：6，8，10，12，14，16，20，22，24，26，……对应的哥解。若用2k来表述则是k=3,4,5,6,7,8,9,10,
11,12,13,……对应的哥解。
哥猜之所以是正确的，其原因就是因为素数对具有连续性。
用第三类数学归纳法证明如下：
（1）有（3，3），（3，5）是连续的；（7，7），（3，13）是连续的；
（3，19），（5，19）是连续的。
所以，有限个例验证成立。
（2）任取一个奇数对o(a1,b1),令a1=5，b1=15，即从（5，15）出发，进行有限次的（a1+2,b1+2）=（5+2，15+2）=（7，17），这时可找到7+17=24
=2×12；即k=24÷2=12时有一个素数对。即x=k=12有素数对（7，17）。
所以，命题P(x),在x=k时成立。
又因为x=k+1=12+1=13,对应的偶数是2×13=26。用前述的情况（A）(B)(C)算法，可以找到其素数对是（13，13），其它素数对（7，19），（3，23）等可以通过mod(26)等模调整法找到，(见前述)。它们是等效的哥解。即当x=k+1,可以找到其后续的素数对。即证明了（7，17）有后续的素数对：（13，13）=（7，19）
=（19，7）=（3，23）=（23，3）。
或说（7，17）与（3，23）是连续的。
说明，对于指定的素数对，其后续可以有多个，但是它们是等效的。
所以，命题P(x),在x=k时成立，在x=k+1时也成立。
即命题P(x)与命题P(x+1)，保持一至性，即都能找到素数对。
因为x与x+1,具有连续性，所以，素数对具有连续性。得证。
即素数对可以从（3，3）开始，一直连续到∞。
说明，因为素数有无穷多个，所以素数对也有无穷多个。
什么是第三类数学归纳法？
第三类数学归纳法，是本人在研究哥德巴赫猜想的过程中，找到的一种新的数学工具。为了和经典数学归纳法相区分，暂取名叫第三类数学归纳法。是一种用于证明数学命题的方法。这种方法适用于证明与自然数有关的命题，其原理涉及到与自然数有关的命题p(x)，这类问题可以是一个方程，德巴赫猜想：2N=p+q;也可以是一组（>=2）的算式或方程式,如”3x+1”猜想。
第三数学归纳法的定义
第三数学归纳法是数学归纳法的一种新的形式。尚未得到数学界的认可。但是，该方法提供了新的视角和解决方法。故在证明数学问题时，具有独特的优势。相信，将来会有更多的应用。这定会比证明某个猜想更有价值。
它的基本步骤为：
（1）首先证明当x=某些特定值时，命题p(x)成立。至少3个。即x在x=a;x=b;x=c时，命题p(x)都能成立。叫有限的案例成立。
（2）根据结构分析，如利用图表等，能够找到某种算法来直接证明命题p(x)，在x=k时成立。这一步骤是该证明方法与经典的数学归纳法的主要区别。
再用相同或不同的方法，再次证明命题p(x)，在x=k+1时，即命题p(x+1)也成立。
即需要证明命题p(x)，在p(x)和p(x+1)之间保持一致性。叫二次证明命题p(x)连续成立。
（3）最后，因为，x与x+1,（x是自然数）。因为，自然数有前趋与后续的连续性。所以，可以证明x从有限到无穷大时，命题p(x)都成立。即命题p(x)得证。
第三类数学归纳法是一种新的数学证明方法和工具，它通过递推关系和多个给定的初始值（可以是连续，也可以是不连续的）通过验证来证明与自然数有关的命题。这种方法不仅适用于简单的数学问题，还可以解决更复杂的问题，如“3x+1”猜想这样的难题。通过理解和掌握第三类数学归纳法的原理和应用，可以有效地解决更多的数学问题。
第三类数学归纳法的想路：用有限次的验证，和二次证明，得到命题有一致性的结论。从而证明从有限到无限大，命题的正确性。该方法的难点在于要找到针对命题的一种“算法”。
现在可以用第三类数学归纳法来证明哥德巴赫猜想了：
（1）有限初始值验证：
4=2+2; 有哥解，成立。（这是特例，2是唯一的偶素数，其它(>2)素数都是奇素数）。
6=3+3；有哥解，成立。
8=3+5；有哥解，成立。
10=3+7；有哥解，成立。（10=5+5，是等效解）。
12=5+7；有哥解，成立。
14=（3，11）=（7，7）=（11，3）；有哥解，成立。
16=（3，13）=（5，11）=（13，3）；有哥解，成立。
所以，有限初始值，经验证，成立。
（2） 根据有素数对存在定理：从任意指定的一个奇数对o(a,b)出发，进行对奇对两个元素同时+2，当进行有限次操作后，就必定能找到一个素数对。
记为p(a1,b1)；则有偶数2N1=a1+b1；有哥解，成立。
即命题P(x)=P(2N1)时有哥解：P（2N1）=p(a1,b1)；即偶数2N1=a1+b1。
它的后续2(N1+1),可以用前述的情况（A）(B)(C)算法来找到哥解。
即命题P(x+1)=P(2N1+1)时有哥解：P（2N1+1）=p(a2,b2)；即偶数
2（N1+1）=a2+b2。也成立。
所以命题P（x）与命题P（x+1）保持一至性。
因为x与x+1具有连续性。所以，连续的偶数2N1与2（N1+1）有连续的素数对p(a1,b1)与p(a2,b2)存在。即哥猜：即任何大4的偶数都可以写成两个素数之和。得证。
顺便证明，孪生素数猜想：孪生素数有无穷多个。
孪生素数即相差为2的素数对。根据我们找素数对方法，和有素数对存在定理。
可以从奇数对（1，3）的两个元素进行+2，找到孪生素数：
进行1次操作，有（1+2，3+2）=（3，5）；
进行1次操作，有（3+2，5+2）=（5，7）；
进行1次操作，有（5+2，7+2）=（7，9）；（未找到继续，）
再进行1次操作，有（7+2，9+2）=（9，11）；（未找到继续）
再进行1次操作，有（9+2，11+2）=（11，13）；（找到）
继续下去，可以找到（17，19）……；
孪生素数对具有无穷多对的证明：
（1）有限个例验证：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）成立。
（2）我们可以把（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）看作已知的孪生素数对。可以用孪生素数对的元素的和来比较大小，则最小的孪生素数对是（3，5），最大的孪生素数对是（17，19）。假设未知区域（>(17,19)=(17+19)=36），不存在比（17，19）更大的孪生素数对是正确的。
但有反例，可以找到更大的孪生素数对（29，31）。
所以，原假设不成立。
即有新的孪生素数对（29，31），把它加入到已知的孪生素数对集合中，
再假设未知区域（>(29,31)=(29+31)=60）中不存在比60更大的孪生素数对是正确的。
但有反例，可以找到更大的孪生素数对（41，43）。
即有新的孪生素数对（41，43），把它加入到已知的孪生素数对集合中，
这样，已知的孪生素数对不断增多，又总能找到新的孪生素数对。
所以，孪生素数猜想：孪生素数有无穷多个。是正确的。
得证。
其实，如果定义差为0的素数对，为独生素数对，如（3，3）；（5，5）等；
同样也是无穷多个。
还可以有差为4的素数对，差为6的素数对，差为8的素数对，……，差为2k的素数对。同样也是无穷多个。
如果大家认可1是素数的话，则哥解就可以把大偶数省掉，说成所有的偶数都能写成两个素数之和。
这样，自然数的层次结构就成了正整数由偶数和奇数构成。奇数由普通奇数和素数构成，2是唯一的偶素数除外。
结构会更清晰一些。
小金牛 2024.8.22.
强哥德巴赫猜想：即任何大4的偶数都可以写成两个素数之和。
先做些解释：
（1）素数，该数只能被1和自己整除的数。
（2）素数对，即由两个相等或不相等的素数组成的数对。
（3）哥解：当我们找到一个素数对时，则该素数对之和为某个偶数，则可以说该偶数有哥解。
（4）哥解的等效解，某个偶数，若有多个哥解，则它们是等效的，因为它们的和是相等。从这个角度来说，哥解的多解问题就可以转化成单解，使问题化简。
例如：10=（5，5）=（3，7）=（7，3）；可以看成只有一个等效解。
（5）数对是组合，不是排列。所以（3，7）=（7，3）是等效的。
（6）数对的连续性？
定义：当数对(a,b)与(c,d),满足：(c+d)-(a+b)≡2时,则称数对(a,b)与(c,d)它们的关系可以说是连续的。
例如：（1，3）与（1，5）是连续的；（1，3）与（3，3）也是连续的。
我们还要用到另一种连续性，为了区分，暂叫同模下的自然连续性。
定义：当数对(a,b)与(c,d),满足：(c+d)-(a+b)≡0时,则称数对(a,b)与(c,d)它们的关系可以说是同模下自然连续的。这里模的概念是借用，不是mod()的本意。同模：是讨论问题时，指定mod(2n)。
例如：mod(4)有数对(1,3),(2,2)(3,1);
Mod(6)有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1);
Mod(8)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2),(7,1);
Mod(10)有(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)(6,4),(7,3)，(8,2),(9,1);
mod(12)有：
(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7)(6,6),(7,5)(8,4),(9,3),(10,2),(11,1);
mod(14)有：
(1,13),(2,12),(3,11),(4,10),(5,9)(6,8),(7,7)(8,6),(9,5),(10,4),(11,3),(12,2),
(13,1);
mod(16)有：
(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11)(6,10),(7,9)(8,8),(9,7),(10,6),(11,5),(12,4),
(13,3),(14,2),(15,1);
显然，mod(2n),共有数对的个数是：2n-1。它们从结构上讲是一个首尾相连的一个环。首项是（1，2n-1),尾项是（2n-1,1)。所以，要寻找其中的奇数对，可以从首项，（a1,b1),通过（a1+2,b1-2),进行有限次操作,找到奇数对(ai,aj);
如何寻找素数对？
方法一是，从任意的一对奇数对出发，进行对奇数对的两个元素，
进行同时加2，当进行有限次操作后，就能找到素数对。
为此，我们要先证明一个定理，暂叫素数对存在定理吧。
设有一个奇数对o(a,b); （a,b 可以相等或不相等）。
证明如下：
举例：o(1,1);经过1次+2 操作的结果是p(1+2,1+2)=p(3,3) 成立；
o(3,5);经过1次+2 操作的结果是p(3+2,5+2)=p(5,7) 成立；
o(13,13);经过1次+2 操作的结果是p(13+2,13+2)=p(15,15) 不成立；
继续，经过2次+2 操作的结果是 有p(15+2,15+2)=p(17,17)成立；
即经过2次+2，即有限次操作就能找到。
方法二是，从任意的一指定的偶数2N出发寻找其素数对，进行如下操作:
情况(A):
用2N÷2=N,若N是奇数,则有奇数对(N,N);如果N是素数,则寻找到哥解(N,N)。例如：2N=10：则有10÷2=5，则有奇数对（5，5），因为5经过计算得知是素数，所以找到哥解是（5，5）。再通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到第2个哥解：（5+2，5-2）=（7，3）。反过来，进行（a1-2,b1+2)则可以找到第3个哥解（5-2，5+2）=（3，7）。因为（5，5）=(7,3)=(3,7);
所以它们是等效哥解。
情况(B):
用2N÷2=N,若N是偶数，则有偶数对（N，N），经过调整（N-1，N+1)可成为奇数对（N-1，N+1)；如果N-1=p是素数，同时N+1=q也是素数;则有2N的哥解。即2N=p+q。
例如：2N=12：则有12÷2=6，则有偶数对（6，6）；经过调整
（N-1，N+1)即（6-1，6+1）=（5，7），也可以反过来调整（N+1，N-1)；即（6+1，6-1）=（7，5）。
情况(C):
用2N÷2=N,若N是偶数，则有偶数对（N，N），经过调整（N-1，N+1)可成为奇数对（N-1，N+1)，但是不是素数对。通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到哥解。
例如：2N=16：则有 16÷2=8，则有偶数对（8，8）；经过调整
（N-1，N+1)即（8-1，8+1）=（7，9）不是素数对。通过（a1+2,b1-2)的有限次操作可以找到哥解。即（7+2，9-2）=（9，7）不是素数对，续继进行 （9+2，7-2）=（11，5），即2次（a1+2,b1-2)操作，可以找到哥解。再操作一次（11，5）=（11+2，5-2）=（13，3），这是另一个哥解。如果对
（7，9）数对进行反方向操作（a1-2,b1+2)，则有（7，9）=（7-2，9+2）
=（5，11）=（5-2，11+2）=（3，13）。
所以，通过上述的算法。对于指定的2N，我们都能找到其对应的哥解。
对于素数来说，没有通项公式，因为其分布没有规律性，并且，其元素之间的间隔是散列的。所以给哥解的证明带来了巨大困难。但是，素数对的分布却是有连续性，所以，可以用第三类数学归纳法来证明。
对于素数的集合来说，其元素是没有或缺的，且有冗余的。例如：如果5不是素数，则12=(5,7)=(7,5)就不是哥解。哥猜就不成立。所以，5是不可或缺的。
素数的确认，到目前为止，只有一个方法，就是将该奇数进行乘法的因数分解后，再作出判定。所以，素数对也用该方法进行判定的。
有素数对存在定理：
证明：
假定从任一指定的奇数对o(a,b)，需要经过无穷多次+2操作，
才能找到素数对p(A,B)是正确的。
但是，有反例：o(3,5);经过1次+2 操作的结果是p(3+2,5+2)=p(5,7)；
与前面的假设矛盾。
所以，有素数对存在定理：从任意指定的一个奇数对o(a,b)出发，进行对奇对两个元素同时+2，当进行有限次操作后，就必定能找到一个素数对。成立。
下面我们来证明，素数对具有连续性。
大于2的最小素数是3，所以，最小的素数对是（3，3）。根据前述的连续性定义，其后续素数对是（3，5）或（5，3）。
现写出一段连续的素数对：（3，3），（3，5）=（5，3），（5，5）=（3，7），（5，7），（7，7）=（3，11），（5，11）=（3，13），
（5，13），（7，13），（11，11）=（5，17）=（3，19），
（5，19），（7，19）=（3，23）=（13，13），……
虽然，看起来不顺畅，但是，它们是连续偶数：6，8，10，12，14，16，20，22，24，26，……对应的哥解。若用2k来表述则是k=3,4,5,6,7,8,9,10,
11,12,13,……对应的哥解。
哥猜之所以是正确的，其原因就是因为素数对具有连续性。
用第三类数学归纳法证明如下：
（1）有（3，3），（3，5）是连续的；（7，7），（3，13）是连续的；
（3，19），（5，19）是连续的。
所以，有限个例验证成立。
（2）任取一个奇数对o(a1,b1),令a1=5，b1=15，即从（5，15）出发，进行有限次的（a1+2,b1+2）=（5+2，15+2）=（7，17），这时可找到7+17=24
=2×12；即k=24÷2=12时有一个素数对。即x=k=12有素数对（7，17）。
所以，命题P(x),在x=k时成立。
又因为x=k+1=12+1=13,对应的偶数是2×13=26。用前述的情况（A）(B)(C)算法，可以找到其素数对是（13，13），其它素数对（7，19），（3，23）等可以通过mod(26)等模调整法找到，(见前述)。它们是等效的哥解。即当x=k+1,可以找到其后续的素数对。即证明了（7，17）有后续的素数对：（13，13）=（7，19）
=（19，7）=（3，23）=（23，3）。
或说（7，17）与（3，23）是连续的。
说明，对于指定的素数对，其后续可以有多个，但是它们是等效的。
所以，命题P(x),在x=k时成立，在x=k+1时也成立。
即命题P(x)与命题P(x+1)，保持一至性，即都能找到素数对。
因为x与x+1,具有连续性，所以，素数对具有连续性。得证。
即素数对可以从（3，3）开始，一直连续到∞。
说明，因为素数有无穷多个，所以素数对也有无穷多个。
什么是第三类数学归纳法？
第三类数学归纳法，是本人在研究哥德巴赫猜想的过程中，找到的一种新的数学工具。为了和经典数学归纳法相区分，暂取名叫第三类数学归纳法。是一种用于证明数学命题的方法。这种方法适用于证明与自然数有关的命题，其原理涉及到与自然数有关的命题p(x)，这类问题可以是一个方程，德巴赫猜想：2N=p+q;也可以是一组（>=2）的算式或方程式,如”3x+1”猜想。
第三数学归纳法的定义
第三数学归纳法是数学归纳法的一种新的形式。尚未得到数学界的认可。但是，该方法提供了新的视角和解决方法。故在证明数学问题时，具有独特的优势。相信，将来会有更多的应用。这定会比证明某个猜想更有价值。
它的基本步骤为：
（1）首先证明当x=某些特定值时，命题p(x)成立。至少3个。即x在x=a;x=b;x=c时，命题p(x)都能成立。叫有限的案例成立。
（2）根据结构分析，如利用图表等，能够找到某种算法来直接证明命题p(x)，在x=k时成立。这一步骤是该证明方法与经典的数学归纳法的主要区别。
再用相同或不同的方法，再次证明命题p(x)，在x=k+1时，即命题p(x+1)也成立。
即需要证明命题p(x)，在p(x)和p(x+1)之间保持一致性。叫二次证明命题p(x)连续成立。
（3）最后，因为，x与x+1,（x是自然数）。因为，自然数有前趋与后续的连续性。所以，可以证明x从有限到无穷大时，命题p(x)都成立。即命题p(x)得证。
第三类数学归纳法是一种新的数学证明方法和工具，它通过递推关系和多个给定的初始值（可以是连续，也可以是不连续的）通过验证来证明与自然数有关的命题。这种方法不仅适用于简单的数学问题，还可以解决更复杂的问题，如“3x+1”猜想这样的难题。通过理解和掌握第三类数学归纳法的原理和应用，可以有效地解决更多的数学问题。
第三类数学归纳法的想路：用有限次的验证，和二次证明，得到命题有一致性的结论。从而证明从有限到无限大，命题的正确性。该方法的难点在于要找到针对命题的一种“算法”。
现在可以用第三类数学归纳法来证明哥德巴赫猜想了：
（1）有限初始值验证：
4=2+2; 有哥解，成立。（这是特例，2是唯一的偶素数，其它(>2)素数都是奇素数）。
6=3+3；有哥解，成立。
8=3+5；有哥解，成立。
10=3+7；有哥解，成立。（10=5+5，是等效解）。
12=5+7；有哥解，成立。
14=（3，11）=（7，7）=（11，3）；有哥解，成立。
16=（3，13）=（5，11）=（13，3）；有哥解，成立。
所以，有限初始值，经验证，成立。
（2） 根据有素数对存在定理：从任意指定的一个奇数对o(a,b)出发，进行对奇对两个元素同时+2，当进行有限次操作后，就必定能找到一个素数对。
记为p(a1,b1)；则有偶数2N1=a1+b1；有哥解，成立。
即命题P(x)=P(2N1)时有哥解：P（2N1）=p(a1,b1)；即偶数2N1=a1+b1。
它的后续2(N1+1),可以用前述的情况（A）(B)(C)算法来找到哥解。
即命题P(x+1)=P(2N1+1)时有哥解：P（2N1+1）=p(a2,b2)；即偶数
2（N1+1）=a2+b2。也成立。
所以命题P（x）与命题P（x+1）保持一至性。
因为x与x+1具有连续性。所以，连续的偶数2N1与2（N1+1）有连续的素数对p(a1,b1)与p(a2,b2)存在。即哥猜：即任何大4的偶数都可以写成两个素数之和。得证。
顺便证明，孪生素数猜想：孪生素数有无穷多个。
孪生素数即相差为2的素数对。根据我们找素数对方法，和有素数对存在定理。
可以从奇数对（1，3）的两个元素进行+2，找到孪生素数：
进行1次操作，有（1+2，3+2）=（3，5）；
进行1次操作，有（3+2，5+2）=（5，7）；
进行1次操作，有（5+2，7+2）=（7，9）；（未找到继续，）
再进行1次操作，有（7+2，9+2）=（9，11）；（未找到继续）
再进行1次操作，有（9+2，11+2）=（11，13）；（找到）
继续下去，可以找到（17，19）……；
孪生素数对具有无穷多对的证明：
（1）有限个例验证：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）成立。
（2）我们可以把（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）看作已知的孪生素数对。可以用孪生素数对的元素的和来比较大小，则最小的孪生素数对是（3，5），最大的孪生素数对是（17，19）。假设未知区域（>(17,19)=(17+19)=36），不存在比（17，19）更大的孪生素数对是正确的。
但有反例，可以找到更大的孪生素数对（29，31）。
所以，原假设不成立。
即有新的孪生素数对（29，31），把它加入到已知的孪生素数对集合中，
再假设未知区域（>(29,31)=(29+31)=60）中不存在比60更大的孪生素数对是正确的。
但有反例，可以找到更大的孪生素数对（41，43）。
即有新的孪生素数对（41，43），把它加入到已知的孪生素数对集合中，
这样，已知的孪生素数对不断增多，又总能找到新的孪生素数对。
所以，孪生素数猜想：孪生素数有无穷多个。是正确的。
得证。
其实，如果定义差为0的素数对，为独生素数对，如（3，3）；（5，5）等；
同样也是无穷多个。
还可以有差为4的素数对，差为6的素数对，差为8的素数对，……，差为2k的素数对。同样也是无穷多个。
如果大家认可1是素数的话，则哥解就可以把大偶数省掉，说成所有的偶数都能写成两个素数之和。
这样，自然数的层次结构就成了正整数由偶数和奇数构成。奇数由普通奇数和素数构成，2是唯一的偶素数除外。
结构会更清晰一些。
小金牛 2024.8.22.
