广义高斯曲率也是内蕴的吗？

我们有一个光滑曲面S，曲面上有一点C，我们通过C作一条直线B，B不是C点的法线，也不是C点的切线。再作一条S在C点的切线T。
T与B张成的平面与S相交，得到相交线，也就是蓝色的曲线，我称它为方向截线。方向截线在C点的曲率，我称为方向曲率。
C点的不同的T与B张成的平面都与S相交，因此都有方向截线及在C点的方向曲率。其中最大的方向曲率记为K1，最小的方向曲率记为K2。
显然，K1与K2对应的T是互相垂直的。比如图中的圆锥面。只有当Ｔ与通过C的母线垂直时，方向曲率才是最大的。同样，只有当T与通过C的母线一致时，方向曲率才是最小的。
我们将K1与K2的乘积称为广义高斯曲率。这与高斯曲率并不完全是一回事，因为高斯曲率来自于法曲率的乘积。而广义高斯曲率来自于方向曲率的乘积。不过，如果B正好为法线，那么广义高斯曲率与高斯曲率就是一回事。但一般情形下，B一般不是法线。所以广义高斯曲率的意义更广泛。
显然，广义高斯曲率也是内蕴的。因为当一个曲面为可展曲面时，广义高斯曲率等于零。比如，如图所示的圆锥曲面它的最小方向曲率等于零，所以它的广义高斯曲率也等于零。
#方向导数##导数##方向曲率#