坐标系上不存在三个不同整点两两距离相等的，否则连线形成等边三角形，其中至少有两条连线是倾斜的，它们的斜率都是有理数，那夹角的正切值一定也是有理数，不可能等于tan60°或tan120° (±sqrt(3))

3

另一种证法，可以设x₁=u-p, x₂=m-u, x₃=p-m，y₁=v-q, y₂=n-v, y₃=q-n
则x₁+x₂+x₃=0, y₁+y₂+y₃=0，x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²
由条件它们不全为0，可以设6个数中至少有1个奇数 (如果x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃都是偶数，就将它们全都除以2，得到的6个数仍然符合要求，最终一定会得到某6个数，其中至少有1个奇数 )
假设奇数是x₁，若y₁是偶数，则x₁²+y₁²是奇数，因此x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+x₃²+y₃²= 3(x₁²+y₁²)也是奇数，x₁+y₁+x₂+y₂+x₃+y₃的奇偶性和它相同，但x₁+y₁+x₂+y₂+x₃+y₃=0是偶数，这种情况矛盾
若y₁是奇数，则x₁²+y₁²≡2(mod 4)
又因为x₂+x₃=-x₁是奇数，x₂和x₃一定有一个是偶数，设为x₂，则x₂²≡0(mod 4)
由x₂²+y₂²=x₁²+y₁²≡2(mod 4)可知y₂²≡2(mod 4)，没有整数解，也矛盾
所以这样的不全为0的整数x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ 是不存在的

3

这个等式貌似就是等边三角形的样子，不知道对不对
等边三角形如果底边平行x轴，上面的点纵坐标就涉及根号3，没法是整数。不知道旋转后行不行。
个人感觉是没有