11…12 (n个1) 等于[10^(n+1)-1]/9+1，如果等于立方数m³，那10^(n+1)-1 = 9m³-9，10^(n+1)+8 = 9m³
当n≡1(mod 3)时 10^(n+1)+8≡3, 6 (mod 7)，而9m³≡0, 2, 5(mod 7)，所以这时不可能有解
当n≡0(mod 3)时 10^(n+1)+8≡11, 5 (mod 13)，而9m^3≡ 0, 9, 7, 4, 6 (mod 13)，所以也不可能成立

当n≡2(mod 3)时，设n+1=3k，k是正整数
则10^(n+1)+8 = (10^k)³+2³ = (10^k+2)(10^(2k)-2×10^k+4) = 9m³
由于10^(2k)-2×10^k+4 = (10^k+2)²-6×(10^k+2)+12，它和10^k+2的最大公因数一定是12的因数
并且模3可知如果其中一个不被3整除，另一个也不被3整除，由于相乘等于9m³，所以它们都被3整除
而k≥2时，10^k+2≡2(mod 4)，此时10^k+2与10^(2k)-2×10^k+4 的最大公因数等于6，
则 (10^k+2)/6 × (10^(2k)-2×10^k+4)/6 = 2(m/2)³
左边两项互素且(10^k+2)/6 是奇数，所以存在互素正整数a, b使 10^k+2=6a³，10^(2k)-2×10^k+4 = 12b³，a为奇数
先模13可得10^k≡10, 9, 12, 3, 4, 1 (mod 13)
10^k+2≡12, 11, 1, 5, 6, 3(mod 13)
而6a³≡0, 6, 4, 9, 7 (mod 13)，所以只可能10^k+2≡6(mod 13), k≡5(mod 6)
这时再模19可得，当k≡5(mod 6)时 10^k≡3, 14, 2(mod 19)，10^k+2≡5, 16, 4(mod 19)
而6a³≡0, 15, 9, 13, 4, 10, 6 (mod 19)，所以只可能10^k+2≡4(mod 19)，10^k≡2(mod 19)
这时12b³≡10^(2k)-2×10^k+4≡4(mod 19)，b³≡13(mod 19)，但是这个同余方程无解，13不是模19的三次剩余
说明k≥2时原方程无解
再验证k=1时n=2，112也不是完全立方数，所以10^(n+1)+8=9m³是无正整数解的，不存在这样的正整数n

问题：是否存在一个n，使得11…12（n个1)为立方数
解：
一，
（1）8³=512 ，一位数中，只有8³的个位数字为2；
（2）个位数字为8的两位数中，只有58³的末两位数为12
（3）末两位数为58的三位数中，只有558³的末三位数为112
（4）末三位数为558的四位数中，只有5558³的末四位数为1112；
二，设n=10000x+5558则有
（1）n³=（10000x+5558）³=（10¹²）x³+1667×（10⁸）x²+926740920000x+171694201112
（2）由此可知，n³的末四位数，可以有1112，但倒第5位只能是偶数，也就是说，n³的末五位数不可能是11112；
三，结论：不存在一个n，使得11…12（n个1)为立方数。

可以证明对任何素数p=2或者p≡5(mod 6)，如果正整数m<n，a与素数p互素，那x³≡a*p^m (mod p^n) 有解，当且仅当m是3的整数倍
按照中国剩余定理，x³≡11 …12(mod 10^n) 有解，只需要x³≡11…12(mod 2^n) 和 x³≡11…12(mod 5^n)有解 (这里11…12中有n-1个1)
而n≥4时11…12≡8(mod 16)，按照结论前一个方程有解，而n=1, 2, 3时也都有解
5是模6余5素数，11…12又与5互素，所以后一个方程也有解
因此不管多少个1，11…12都可以作为立方数的末尾n位数字

1111……12（n个1）是立方数m³，27m³=（3m）³=3*10∧（n+1）+24
3*10∧（n+1）+24是立方数，n是几时成立？