如前所述，度规结构在流形上指定距离和角度，因而建立其几何学。在部分成为生活常识的黎曼几何里，距离是一个正实数（距离的平方是正的）。时空流形M上的度规将建立时空上的几何，它应该包含我们关于传播速度的上限c的物理认知（就是为了这瓶醋我们才包了这碟饺子！）
选取的度规可以用如图所示的时空间隔ds来表示，有两种没有本质区别的符号规定:历史上美国东海岸喜欢的度规和西海岸差一个负号！我是喜欢东岸度规的 不过如果你有一个做物理的朋友，不要轻易谈论你喜欢的度规负号，警惕，友谊可能因此破裂！
你会发现时空上的距离ds和空间距离dl的显著差别是: ds^2并不是恒正的！时空距离ds可以是虚数。
时空流形上的几何学区分了三种间隔:
1.类时间隔 c dt> dl
在传播速度限制c下，相互作用可影响的/可以传递信号的两时空点之间的间隔
时空距离ds为虚的（我默认东岸度规！）
2.类空间隔
c dt< dl
空间距离dl过于遥远，信号不能联系的两时空点之间的间隔
3.类光间隔
cdt=dl
只有最大速度c才能恰好沟通的两时空点之间的间隔
注意！作为坐标的时间和空间统一于时空流形M的概念里，是不可分的。
时空流形上引入度规后，类时间隔和类空间隔是严格可分辨的！时间和空间的区别在度规中表现为相反的符号
时间和空间怎么可能根本没有区别呢

在时空流形M上引入度规结构后，如前所述，度规自动给出了切矢量的一套联络。
复习:联络是用来告诉你怎么将一点的矢量平行移动到另一点的一套规则。
自由（自由的含义是不受到外力的作用）的质点（附带一提，相对论性的物理理论应该尽力排除质点这一概念，而改用场，不过数学上还是可以讨论一个质点的）应该做匀速直线运动，也就是说在时空中走出一条“尽可能直的线”。“直线”（在一般的流形上应该称为测地线）是一种特殊的曲线，它的切矢量沿着该曲线不变。
详细地说:质点的运动在时空流形上划过一条曲线，称为世界线，质点运动至点P时，可以定义该点处质点的时空速度（四维速度），时空速度是世界线在P点的切矢量。自由质点运动到与P邻近的点Q时，若将P点的四速度（切矢量）平行移动到Q点与Q点的速度比较，它们应该相同。
自由质点世界线因这一性质被称为测地线。测地线是切矢量沿自身平移不变的曲线。

前述度规ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2+ dy^2+ dz^2是一个非常简单的度规: 它描述了一个平坦的（没有内禀弯曲的，如球面是有内禀弯曲的二维流形）四维流形，它给出的联络规则是平凡的，切矢量在平行移动时不改变其分量。而自由质点在该平坦四维空间（t，x，y，z）中划过的测地线就是真的直线。
与之对此，在球面这个二维流形上，用球面上相邻两点之间的距离来指定度规，球面上的测地线是所谓的“大圆”。赤道是一个大圆。因为球面是有内禀弯曲的空间，你在球面上不能找到比赤道更直的曲线了！

至此我们未谈及引力，也为正式涉及广义相对论。
如果我们在时空流形上，指定形式更加复杂的度规，就可以获得内容更加丰富的弯曲时空几何。
譬如，将前述的平坦时空距离替换为施瓦兹时空的距离公式，平坦时空v.s.施瓦兹时空如下图所示。
如果我们仍然要求质点在施瓦兹时空中走测地线，那么经过繁琐的计算，可以发现质点的世界线给出了行星绕太阳的运动（取图中M为太阳质量）: 不仅包含了牛顿给出的椭圆轨道，还包括了椭圆轨道的引力进动，这在水星的天文观测中得到了良好的证实。
三点洞察:
0.施瓦兹时空描述了中心天体（质量为M）外面的时空几何。中心天体的质量使时空流形发生弯曲。
1.时空中只受引力作用的质点沿着测地线运动。“几何告诉物质如何运动”
2.度规定义了时空几何。引力的全部信息被编码在度规之中。引力场即度规场
3.牛顿平方反比定律给出了物质分布如何瞬时地决定引力大小。广义相对论的基本方程应该是一个时空中的物质场分布决定在时空上该引入什么样的度规场的场方程。“物质运动的全部历史在时空上定义出几何”

在广义相对论之前，通过电磁理论和流体力学物理学家已经打下了扎实的经典场论基础。 得到广义相对论方程的具体形式的过程就是硬猜方程具体是如何猜出的难以简单言说，如果你有电磁理论的基础，对偏微分方程不陌生，你大概可以猜到可能的备选形式。然后，你应当要求你的方程允许牛顿平方反比律作为一个近似解（毕竟牛顿理论在太阳系中还是非常准确地嘛）。
你问允许平方反比律作为近似解的方程形式如果不止一种该怎么办？emmm，凉拌。爱因斯坦本人不是也拿不准该不该在方程里加入一个宇宙常数项嘛
下图展示了爱因斯坦给出的广义相对论场方程（不含宇宙学常数项）。这个方程被人塞过很多奇奇怪怪的项，人们利用所谓的作用量原理系统性地探讨魔改方案。不过，所有这些魔改和原本的方程之间的区别，要么只在非常大的尺度（宇宙尺度的天文观测）才能看到（这样的天文观测肯定了宇宙学常数项的想法，不过和爱因斯坦的初衷背道而驰），要么只能在非常小的尺度才能看到。
事实上 ，广义相对论方程中的引力常数（沿袭自牛顿）预示了一个长度尺度:普朗克长度。在接近普朗克尺度的微观层面上，广义相对论方程肯定是不完备的，越来越多的小尺度修正项（紫外修正项）应该被加进来。而在普朗克尺度更小的微观，生活着我们至今不知道的某种紫外完备的引力理论。
不过我们今天先不管那么多了！尽管引力相互作用是今天让理论物理头最大的一种相互作用，它却是最早被成功几何化的。欣赏这些方程可以产生一种切实的美的感受。
再度用魔改的惠勒名言总结一下广义相对论部分吧！“物质运动的全部历史在时空上指定了几何，几何反过来决定物质如何运动。”

原本想讲讲宇宙学和时空的整体形状的，但是感觉会越来越劝退PART2科普及时打住，很不满意
本期核心point:物质运动的全部历史在时空上指定了几何，时空几何决定物质如何运动。
PART3预告:从 杨振宁开始，物理学家是如何将剩下的三种基本相互作用几何化的。下期核心point: 究竟该如何理解“场”这个神秘概念？