1.levy层谱
在一个给定的公理系统T中
T-Σ0＝T-Π0＝T-Δ0公式是那些仅含有有界量词的公式
对于任意自然数n
T-Σn+1公式是那些在T中逻辑等价于∃x1∃x2...∃xn ψ，其中ψ是一个T-Πn公式的公式
T-Πn+1公式是那些在T中逻辑等价于∀x1∀x2...∀xn ψ，其中ψ是一个T-Σn公式的公式
T-Δn公式是那些既可以等价于某些T-Σn公式，也可以等价于某些T-Πn公式的公式
∃是存在量词，∀是全称量词
有界量词是指那些量化范围并非整个论域的量词
例如∀x∈R，∃y＞0等等
在本文中，我们一般讨论ZFC及其扩展中的Σn，Πn公式，这又被称为levy层谱
2.正确基数
对于公式类Γ，称k是Γ-正确基数在于对x1,x2,x3...∈Vk，φ∈Γ，φ(x1,x2,x3...)成立当且仅当Vk满足φ(x1,x2,x3...)
对于公式类Γ，称k是Γ-正确基数*在于对x1,x2,x3...∈Vk，φ∈Γ，φ(x1,x2,x3...)成立当且仅当Hk满足φ(x1,x2,x3...)
其中Vk＝{x:rank(x)＜k}
Hk＝{x:|Tc(x)|＜k}，其中Tc(x)指包含x的最小传递集
可以通过对x取ω次任意并得到一个包含它的传递集
一些结论:
1.所有无穷基数都是Σ0-正确基数(鉴于Σ0基数不包含无界量词，这是显然的)
2.所有不可数无穷基数都是Σ1-正确基数*
证明:由于从Hk满足φ→V满足φ的方向是显然的，这里只证明相反方向。对于任意x1,x2,x3...∈Hk，任意Σ1命题φ，总存在序数α，使得x1,x2,x3...∈Hα且存在x∈Hα使得φ(x,x1,x2,x3...)成立，其中x即为φ里那个无界存在量词的见证。使用罗文海姆-司寇伦定理取Hα的初等子模型X，要求参数(x1,x2,x3...)的传递闭包都⊆X，且x∈X，且|X|＜k，运用传递坍缩定理，得到X的传递同构M，此时M⊆Hk，且M中存在对φ的见证x*，则x*在Hk中也见证φ
3.所有贝斯不动点都是Σ1-正确基数
由2已知所有不可数基数都是Σ1-正确基数*，接下来只需要证明对贝斯不动点k，有Vk＝Hk，而对于任意无穷基数都有Hk⊆Vk，这里只证明对于贝斯不动点，有Vk⊆Hk
由于k满足|Vk|＝k，则任意α＜k，都有α≤|Vα|＜|Vk|＝k。取x∈Vk，有rank(x)＝β＜k，这推出Tc(x)⊆Vβ，进一步推出|Tc(x)|≤k，因此x∈Hk。由此便证明了当k是贝斯不动点时，Vk⊆Hk
4.对于任意复杂度的φ，"存在k，Vk满足φ"是一个Σ2-公式，且任意Σ2公式都可以在ZFC中证明等价于一个"存在k,Vk满足xx"的断言，因此如果一个大基数性质能被改写为"Vk满足xx"的形式，那么它的首例(如果存在)就会小于最小的Σ2-正确基数，鉴于这一点，将Σ2-正确基数视为压制一切"局域性质"的"大基数"是合理的。
5.ZFC中的替换公理模式相当于"对于任意特定的n，都存在无界多的Σn-正确基数"
三.无限语言中的levy范式，以L(ω1,ω)为例
1.对于任意自然数n，Σn/Πn公式的定义不变
2.对于超限可数序数α，Σα公式定义为形如∃x φ的公式的可数析取，其中φ是满足β＜α的Πβ公式，Πα公式定义为形如∀x φ的公式的可数合取，其中φ是满足β＜α的Σβ公式
3.如果φ是Σα/Πα-公式，且不是任意β＜α的Σβ，Πβ公式，则称φ具有复杂度α
4.任意L(ω1,ω)中的公式都逻辑等价于一个Σα公式和一个Πα公式
四.超正确基数
记Rα为第α个正则基数，背景理论为ZFC
则有:Rα＝ωα当且仅当α是k+n，其中k是弱不可达基数或0，在其他情况下Rα＝ωα+1
称k为α-超级正确基数，在于Vk≺L(Rα,Rα)V[lbk]Vk是V的L(Rα,Rα)初等子模型[rbk]
称k是超正确基数，若k是k-超级正确基数
一些结论:
1.0-超级正确基数就是正确基数
2.若k是α超级正确基数，则k也是β＜α超级正确基数
3.1-超级正确基数是世界基数，且是异世界基数
4.如果k是1-超级正确基数，则对于任意一阶理论T，V满足T当且仅当Vk满足T
5.命题"存在k，对于任意序数α，k都是α-超级正确基数"与ZFC不一致，原因在于"存在k，k是V的L(ord,ord)初等子模型"本身可以写成一个L(ord,ord)公式