**龙戒模型的推广**
先前提到，除了单龙戒、2龙戒的情况，3、4龙戒的情况也是应该推出来的，本部分便着眼于此。
推导的思路还是一样的，先来回顾一下。这里重新定义随机变量 X1 X2 X3 X4 ，分别代表1 2 3 4龙戒的情况。则推导过程为
1. 计算P{Xi=n}
2. 令an=P{Xi=n}，计算此数列的前n项和Sn
3. P{Xi>=n} = 1-Sn-1

唉，概率论。那天的讨论结果便是复活甲双龙戒+双罪恶可以叠上90多的几率。
此外还有我先前没考虑龙戒实用性，而选择反击吸血而后无双心眼加速整体进程的开局，可以帮忙也算下概率，区别在于三次硫酸不需要复活，但是龙戒依然会判定碎

lz是真牛逼啊

这样啊

群友本人来了，前面那个程序是我一开始写的，经群友吐槽后优化成了下面这个算概率的方式（会有浮点数精度误差但是基本可以忽略，至少看起来漂亮多了），lz还能用数学方式推出严谨的扩展结论真的很厉害

桀桀桀楼主我已经完全理解其中的数学原理啦😋吃个饭回来就更

接16楼，我们先来看3龙戒的情况。首先来看上述的第一步，求P{Xi=n}。
我们回忆一下2龙戒的情况，是通过用0/1表示不碎/碎，形成一个长为n的01序列(形如0001001)，来表示第n次复活2龙戒正好都碎掉的情况。我们用i来枚举第一个1在序列里的位置，便能得出如下的式子

同样的，3龙戒则是会形成一个有3个1的01序列如001010001，其中第一个1和第二个1的位置都需要枚举，也就是两层sigma分别枚举i j，如下

代入先前推的公式：

分母消掉、分子3个3相乘得：

此式依然与i j 无关，轻松去掉第一层sigma：

接下来这个sigma是一个等差求和，也是轻松去掉，最后化简得出结果：

至此第1步是已经完成了

但在第2步开始求取这个数列的前n项和前，我们先看看得到的这个数列有什么特点。
如下是先前在1 2 3龙戒的情况下推出的数列式子：

它们都有个明显的特点，就是分子上是一个最高次项的次数在不断递增的多项式。1龙戒时是0次，2龙戒时是1次，3龙戒时则是2次，按这个规律我们可以推断出后续的4龙戒分子必然会是3次多项式。
分子是0次时，此数列就是一个等比；分子是1次时，此数列是错位相减的经典例题；那么如果分子是2次、3次乃至更高次的多项式时，Sn的求取又有什么通用的解法呢？接下来会先以3龙戒的这个数列为例计算，再推导出通解法

来到第2步，也就是求Sn这步。为了方便讲解，我们对$a_n$作如下变形

其第三项是一个等比。而第二项的分子最高次为一次，也就是先前说的错位相减的经典例题，也不必多说了随手就能求，于是问题只剩下第一项。
把第一项单拿出来，现在便是要求该数列bn的Sn这个子问题

有了cn的Sn-1，代回去便能求出bn的Sn，再代回去便有an的Sn，那么第2步就结束了。
第2步的Sn有了，再代入第3步的P{Xi>=n} = 1-Sn-1便能得到结论了。
到这里，光是3龙戒的情况已经有小半张草稿纸的计算了，既然已经把思路说清楚了我就不放上来了，这里直接放上计算结果：

可以看到，这里的结果上，分子的次数也是不断递增的。
ps：公式的正确性已经经过计算机模拟验证过了，应该是不会有算错的地方的( ﾟ∀。)7

接着我们再回到第二步，来看看当面对4龙戒将会出现的3次、甚至任意高次的情况下，有没有什么通用解法。
我们先重新仔细看一下3龙戒时做的第一次错位相减：

不难发现这里的n-1项都是通过了一个平方差的相减，成功实现了降次，将n^2降成了2n-1。

不仅如此，这样的降次不仅是对于最高次项成立，对于多项式的每一项都是成立的，也就是说我们没必要像之前在3龙戒时展示的那样把2次项和1次项与常数项分开来算。每进行一次错位相减，所有项的次数都会-1，常数项直接舍去，也就是从求k次k+1项变为求k-1次k项的子问题。

如此反复做错位相减，直到多项式变为0次1项，也就是一个常数项，此时该数列便是等比数列，直接套公式求和，然后一路把结果反带回去即可。
那么这样看下来，如果最初的数列分子是k次的多项式，就要做k次错位相减，最后求出等比，再做k次反代，便能回推出最终的答案了。
如果是学过计算机的同学也应该看出来了，这个算法是有明显的递归的痕迹在里面的，也就是说可以轻松写出对应的程序对高次情况进行求解。先前也提到了，分子只有2次的情况如果手算也已经要算小半张草稿纸了，更高次的情况显然是不能手算。而既然已经确保有计算机的算法支持，那么此解法在任意高次的情况也是可以应用上去的，其作为通解的可行性至此说明完毕。

至此我们进行一下阶段性的总结：
先前我们提出的3步里
1. 计算P{Xi=n}
2. 令an=P{Xi=n}，计算此数列的前n项和Sn
3. P{Xi>=n} = 1-Sn-1
其中，第三步是一个简单的代入，而第二步也已经提出了一种可以求解任意高次情况的手算/计算机算法。现在，只剩下第一步中还需要往任意高次的情况进行推广。下面会以4龙戒的情况为例提出第一步是如何推广的

这样啊

。

同样的，这依然是一个以1为分割的01序列，4龙戒的情况就是分为4段也就是3个枚举点3层sigma，如下：

到此为止看上去还没什么，但继续化下去看看：

可以看到在去掉第二个sigma的时候，再次出现了熟悉的高次多项式。实际上也可以看出：每去一层sigma，次数都会+1。从上图第二行关于k的0次式，到第3行关于j的1次式，再到第5行关于i的2次式。可想而知如果往更多龙戒的情况推广下去，sigma会继续嵌套更多层，而去嵌套的过程中也会出现更高次的多项式。