前情提要:【评定组】世界基数与不可达基数
我们已经知道，若k是不可达基数，则k是k长初等子模型链的并，但显然这一性质也远远不足以揭示最小的不可达基数的强大
如果K为世界基数且共尾为α＞ω，那么K是α长链的并，看起来，随着共尾逐渐增大，世界基数距离不可达基数越来越近——这之中似乎不存在额外的差距，但果真如此吗？
显然，最小的ω1共尾的世界基数K并不满足组成其初等链的每个序数k都是ω1长初等链的并——如果我们沿着这条道路进行强化会怎么样？
如果K为世界基数且共尾为α＞ω，那么如果我们想要强化这一性质，可以要求K不仅是α长链的并，并且要求这α长链中的每一个序数k都是β＜α长链的并。
更进一步地，定义“链”本身的层次
1-链只要求构成链的k是世界基数，链的长度是其并得的那个基数的共尾，具体而言Vc＝∪{Vk:Vk≺Vc,k∈C⊆c}
γ+1-链要求构成链的k都是γ-链的并
如果γ是极限序数，那么就要求对于任意序数θ＜γ，都有一条链中的每个序数都是θ-链的并
而如果k是不可达基数，那么我们能得到的就不仅仅那么简单了。
由于(Vk,Vk+1)是KM集合论的模型，我们可以用真谓词迭代的角度来考察之前的链性质。
在初等超限递归ETR(任意序数秩的ETR都是KM的子理论)中，我们可以用长度为ω的递归定义(Vk,∈)上理论的真谓词T0，而显然地(Vk,T0)是ZFC+T0的模型。ZFC+T0指允许使用T0中信息来扩展分离公理模式，替换公理模式的ZFC扩张。进一步地，我们用秩为ω*2的初等超限递归定义ZFC+T0的真谓词T1，然后ZFC+T1的真谓词T2......平凡地，在ETR中我们可以用秩为ω*α的ETR定义Tα
若α＜k，(Vk,Tα)是ZFC+Tα的模型，则k是α-链的并，这个性质可以通过考虑将真值谓词限制在Vα上看出，而且不仅仅如此——ZFC+存在k，使得(Vk,∈,T)满足ZFC+T，其中T是(Vk,∈)的真谓词
这个断言的强度高于ZFC+存在共尾为α的世界基数k，对于任何特定的α＜k
显然，对于不可达基数k，任意α＜k，(Vk,Vk+1)都满足ZFC+Tα，但我们不需要被限制在α＜k上，因为KM是一个允许讨论(不需要可定义)真类的理论，由于(Vk,Vk+1)是KM的模型(其实仅仅需要是ETR_Ord+1的模型)，因此TOrd+1⊆Vk+1，带着这一参数反射下去，能够得到某些α，Vα满足ZFC+TOrd，必须要注意到TOrd和Tβ(β＜k)的巨大不同——将TOrd限制反射到某个Vα中，我们得到的其实是真值谓词的α次迭代，而TOrd+1在(Vk,Vk+1)看来是真值谓词的k+1次迭代。这意味着我们必须用另一种方法来理解Ord-链与Ord+1-链。
设W是k下世界基数的类，T是“成链操作”，具体而言，对于A⊆Ord，T(A)＝{α∈Ord,A∩α是α中的无界闭子集}，可以看到，T(W)是那些作为1-链之并的世界基数的集合，对于不可达基数k，显然对于任意β＜k，k∈T^β(W)。同样的，如果α＜k满足对于任意γ＜α，α∈T^γ(W)，则称α具有Ord-链性质。那么Ord+1-链性质显然就是要求α拥有一条由拥有Ord-链性质的序数组成的链，我们可以没有顾虑地继续推广，Ord+n-链，Ord+ω-链，直到Ord+Ord-链再次进行对角化。一般地，若元序数Ω是Ord的算术可表示项，那么(Vk,Vk+1)都会满足ZFC+TΩ+1，反射下来就能得到满足Ω-链性质的α
这其实就是对“不能用＜k个符号定义的序数k”，甚至于“用绝对无穷的符号都无法定义的序数”在最小的不可达基数下面要多少有多少的一种初步的理解方式