首先，在一个微分流形上天然有着一个东西，那就是坐标。而且，坐标这个东西是满足矢量的坐标变换规则的。
　　随后，在微分流形上天然可以引入标量场，或者说，微分流形上天然就存在一种纤维丛，其纤维是由全体实数构成的一维实空间。标量场就是该纤维丛的截面。标量场在坐标变换下是不变的。
　　有了上述两个天然存在的东西，就可以引申出第三样东西：标量场的梯度，也就是标量场对坐标的偏微分。这个东西很显然与坐标具有相反的坐标变换性质。
　　标量场的梯度也是一个可以说天然就存在的东西。
　　所以，一旦一个微分流形给出了，那么自然就存在三样东西：坐标、标量场、标量场梯度。它们正好对应了矢量场、标量场与余矢量场。
　　但，坐标这个矢量与后面要讲的矢量并不完全相同，它要特殊一点，因为它是微分流形的最基本结构——微分流形肯定有图册，就肯定有图，而坐标就是图，所以又是一种将微分流形上的开区间映射到平直流形Rn的映射。当然，矢量也是映射，但映射的东西不同。
　　什么是矢量？矢量就是对标量场所作的微分操作，或者说是“给定方向”的微分操作，类似与方向导数。所以，构成矢量的东西事实上是微分算符，以及一个“方向”。它是将局部标量场映射到一个数的映射——注意，不是将一个点上的标量场映射到一个数，而是将一个点及其领域内的标量场映射到一个数。
　　从这个意义上说，矢量是一个针对标量场的算符。和坐标不同，坐标是针对微分流形开区间的算符，显然不一样。
　　有了矢量，就能定义余矢量。
　　余矢量就是将矢量映射到数的算符。在引入内积以前，余矢量场就只是这么一个东西。如果在微分流形上引入了内积结构，那么余矢量场就等于是由矢量场与内积构成的针对矢量场的算符。
　　矢量场除了作为算符以外，还有一些性质，那就是矢量的性质——对标量场是双线性的且是Leibnitz的；矢量之间是满足双线性的，且是封闭的。
　　余矢量场也要满足上述这些性质。
　　当余矢量场与矢量场通过内积联系在一起的时候，上述两个性质就对内积的形式起到了很大的限制作用。
　　另，矢量场也可以看作是微分流形的切丛截面，而余矢量场就是余切丛截面。

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